○○から接線は何本引けるか？

上野竜生です。○○から接線が何本引けるか，という問題は頻出ですが初見では難しいです。頻出のパターンと，ひっかけ問題も含めて解説します。

典型問題

接線の問題なのでまず接点を(t,f(t))とおくことから始めましょう。

答え

\( f(x)=x^3-3x \)とおき，接点を\( (t,f(t))\)とする。接線の式は

\( y-f(t)=f'(t)(x-t) \\
y-(t^3-3t)=(3t^2-3)(x-t) \)

これが(X,Y)を通るから

\( Y-(t^3-3t)=(3t^2-3)(X-t) \)

これをtについて整理し，tについての関数とみる。（X,Yを定数とみる）

\( Y-t^3+3t=3t^2X-3X-3t^3+3t \)

\( 2t^3-3Xt^2+(3X+Y) =0 \)

これの左辺をg(t)とおく。g(t)=0が異なる3つの実数解をもつ条件を求めればよい。(異なる接点が3つ)

\( g'(t)=6t^2-6Xt \)より極値の候補はt=0,X

X=0のときg(t)は極値を持たない。

X≠0のときg'(t)はt=0,Xの前後で符号が変わるので極値をもつ。よって異なる3つの実数解をもつ条件は極大値と極小値が異符号であること，つまり

\( g(0)g(X)<0 \)である。

\(g(0)=3X+Y , g(X)=-X^3+3X+Y \)より

「\( 3X+Y>0 \)かつ\(-X^3+3X+Y<0 \)」または
「\( 3X+Y<0 \)かつ\(-X^3+3X+Y>0\)」である。整理すると

「\(Y>-3X \)かつ\(Y<X^3-3X=f(X) \)」または
「\(Y<-3X \)かつ\(Y>X^3-3X=f(X) \)」である。

これを図示すると下の斜線部分。ただし境界は含まない。

例題２

多項式ではありませんが同様に行います。接点からはじめることを忘れずに！

答え

\( f(x)=e^x \)とし，接点を\( (t,e^t) \)とおくと接線の式は

\(y-f(t)=f'(t)(x-t)\)　つまり，\(y-e^t=e^t(x-t) \)

これが(X,Y)を通るから\(Y-e^t=e^t(X-t) \)

整理すると\( te^t-(X+1)e^t+Y=0 \)

この左辺をg(t)とおき，g(t)=0が異なる2つの実数解をもつ条件を考える。

\( g'(t)=te^t+e^t-(X+1)e^t=e^t(t-X) \)

よって増減表は下の通り

\(\begin{array}{c|ccc} t & \cdots & X & \cdots \\ \hline g'(t) & - & 0 & + \\ \hline g(t) & \searrow & g(X) & \nearrow \end{array}\)

より求める条件は

\(Y>0\)かつ\(g(X)=Y-e^X<0 \)

よって\( 0<Y<e^X \)

この問題もこれでOKです。

例題３

答え

接点を(t,f(t))とすると接線の式は
\( y-f(t)=f'(t)(x-t) \)

(-1,Y)を通るから

整理すると

左辺をg(t)とおき，g(t)=0が異なる1つの実数解をもつ条件を調べる。

\( g'(t)=12t^3-36t^2-4t+44 = 4(t+1)(3t^2-12t+11) \)

\(g'(t)=0\)を解くと\(\displaystyle t=-1 , \frac{6 \pm \sqrt{3}}{3}\)

よって増減表は下の通り

\( \displaystyle g(\frac{6+\sqrt{3}}{3})\)を求める。

より

よって実数解が1個となるのはg(-1)=0のとき，つまりY=65

これでは不十分なのです。この場合は二重接線というものがあるのでそれも計算する必要があります。

二重接線をmx+nとおくと

とかける。

これを係数比較して解くと，\( \alpha=1, \beta=3 , m=-1 , n=0\)

よって二重接線の方程式はy=-xであり，この線上のx=-1の点は(-1,-1)

よってY=-1のときも異なる接線は1本しかひけない。

以上より答えはY=-1　,　65

この場合分けは

・異なる接点が1個のとき　と

・異なる接点は2個だが重なっているとき

の場合分けとなります。