マニアックな漸化式の解法

上野竜生です。最近の漸化式は通常のa_n+1=pa_n+q型か隣接3項間漸化式だけ解ければかなり解けるようになりました。しかしライバルと差をつけたいなど好奇心がある人向けに出題頻度は少ないが一応出題されうる変わった漸化式を紹介します。

比較的発想が容易なタイプ

このような積の形の漸化式は少し解きにくい。今までのような和のタイプに直したい。となると対数をとるという発想ができる。たったこれだけです。ただし対数を取る時は真数条件が必要です。それは明らかであることが多いですが一言でも書いておきましょう。対数の底はeでもなんでもいいのですが漸化式に「3」があるので底を3にしたほうがキレイになるでしょう。

これはいかにも漸化式を解くためだけにつくられた感じがして応用に使いにくいので出題頻度は低いです。

2つごとに値が決まるのでa₁=1からa3,5,7,9,11・・・が決まり，a₂=2からa4,6,8,10,・・・が決まることが予想できます。つまり偶奇で場合分けをすることが容易に想像できます。こちらは比較的出題頻度が高めです。

S_nとa_nが両方漸化式にあるタイプ

このタイプは次の関係式を使います。

初項が与えられていませんがn=1を代入するとすぐ求まります。求めるのはa_nなのでa_nの式だけにすることを考えましょう。そのためにはS_n-S_n-1が必要なので1つずらした式を書き両辺を引けばいいことがわかります。

その他うまい変形

ここからは漸化式を最後までは解かず，最初の変形部分のみ書きます。（そこから先は基本問題に帰着されるため）

前回の方法で3ⁿで割ってもOKですがΣ計算がしんどいです。こういう場合のうまい方法はb_n=(a_nの式)とおいてb_n+1=3b_nの形にしたいと考えます。ここまでくると等比数列なので解けます。式の形からb_n=a_n+αn²+βn+γになると予想できます。あとは係数比較するだけです。

目標の式がb_n+1=3b_nなので

a_n+1+α(n+1)²+β(n+1)+γ=3(a_n+αn²+βn+γ)

a_n+1=3a_n+2αn²+(2β-2α)n+(2γ-α-β)

これをもとの漸化式と係数比較すると2α=1, 2β-2α=2, 2γ-α-β=3より

α=$\frac{1}{2}$ ,β=$\frac{3}{2}$, γ=$\frac{5}{2}$となります。

よって$b_n= a_n + \frac{1}{2}n^2+\frac{3}{2}n+\frac{5}{2}$とおくと等比数列に変形でき，漸化式が楽に解けます。

両辺をn(n+1)で割り，$b_n=\frac{a_n}{n(n+1)}$とおきます。

両辺を(n+1)!で割り，$b_n=\frac{a_n}{n!}$とおきます。

このように最終的にb_n+1=pb_n+qの形にもっていけるように係数をうまく消していくことが重要です。