極値を持つ条件(数II)

上野竜生です。今回は極値をもつ条件・持たない条件を紹介します。一般の場合は数IIIに任せて，今回は数IIの範囲ということで多項式，特に3次式・4次式の場合を紹介します。結果を覚えておくといいこともありますよ。

例題１

例題２

極大値をもつということはf'(x)=0を満たすxが存在し，そのxの前後でf'(x)の符号が+から-に変わることである。
\( f'(x)=4x^3-12x+a \)は3次式なのでf'(x)=0の解は次のどれかである。

アのとき実数解をα,β,γとすると増減表は以下の通り

\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline
x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots & \gamma & \cdots \\ \hline
f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極大 & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline
\end{array}

イのとき実数解をα,α,βとすると増減表は以下の通り
α＜βのとき
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline
f'(x) & - & 0 & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow & 極値ではない & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline
\end{array}

β＜αのとき
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|} \hline
x & \cdots & \alpha & \cdots & \beta & \cdots \\ \hline
f'(x) & - & 0 & + & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow & 極小 & \nearrow & 極値ではない & \nearrow \\ \hline
\end{array}

ウ・エのとき実数解をαとすると増減表は以下の通り

\begin{array}{|c||c|c|c|} \hline
x & \cdots & \alpha & \cdots \\ \hline
f'(x) & - & 0 & + \\ \hline
f(x) & \searrow & 極小 & \nearrow \\ \hline
\end{array}

よって極大値をもつ条件はf'(x)=0が異なる3個の実数解をもつこと。

まとめ

特に暗記必須というほど頻出ではありませんが知っておくとかなり有利です。