格子点の個数の計算

答え(1)【解１】x=kのとき条件を満たすyの個数をa_kとおく。
このとき\(1\leq y \leq 3n-3k \)だからこれを満たす整数yの個数は
\(\displaystyle a_k=3n-3k \)(1≦k≦n)
これを1≦k≦nの和が求めるものだから

【解２】y=kのとき条件を満たすxの個数をb_kとおく。
このとき\(1\leq x \leq n-\frac{k}{3} \)だからこれを満たす整数xの個数は
\(\displaystyle b_k = [n-\frac{k}{3}] \)(1≦k≦3n)
ただし[x]はxを超えない最大の整数を表す。
よって求める個数は

以下解１と同じ。
【解３】図形的に考える。

図より求めるものはA+Bである。
Bの個数はx(1≦x≦n-1)の値1つに対し1個が対応するからB=n-1
また，図形の対称性より2A+Bは
1≦x≦n-1,1≦y≦3n-1を満たす整数(x,y)の個数だから2A+B=(n-1)(3n-1)
求めるものは
\(\displaystyle A+B=\frac{(2A+B)+B}{2} \\ \displaystyle =\frac{(n-1)(3n-1)+(n-1)}{2} \\ \displaystyle=\frac{3}{2}n(n-1) \)

答え(2)【解１】x=kのとき条件を満たすyの個数をa_kとおく。
このとき\(0\leq y \leq \sqrt{k} \)なのでこれを満たす整数yの個数は
\(\displaystyle [\sqrt{k}+1]\)
よって求める個数は
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{100}[\sqrt{k}+1] =101+\sum_{k=1}^{100}[\sqrt{k}] \)
ここで\(\displaystyle \sum_{k=1}^{100} [\sqrt{k}]\)を求める。
\([\sqrt{k}]=1 \)となるkは\(1 \leq k \leq 3\)の3個。
\([\sqrt{k}]=m\)となるkは\( m^2 \leq k \leq (m+1)^2-1\)の2m+1個（1≦m≦9)
\([\sqrt{k}]=10 \)となるのはk=100の1個。よって

以上より求める個数は101+625=726

答え【解２】y=kのとき条件を満たすxの個数をb_kとおく。
このとき\(k^2 \leq x \leq 100\)なのでこれを満たすxの個数は\(101-k^2 \)
\(0\leq x\leq 100, 0\leq y\leq \sqrt{x}\)よりyの範囲は\(0\leq y \leq 10\)だから求める個数は
\(\displaystyle \sum_{k=0}^{10} 101-k^2 = 101+\sum_{k=1}^{10}(101-k^2) \\ =\displaystyle 101+1010-\frac{1}{6}\cdot 10\cdot 11 \cdot 21 \\ =1111-385=726 \)

答えz=kで切断したときの(x,y,k)の数をa_kとおく。0≦x≦n,0≦y≦n,x+y≦2n-kの領域は下の図の左下の部分。（図はn=6,k=3の場合）

図より正方形の格子点の数から右上の格子点の数を引けばよいので
\(\displaystyle a_k=(n+1)^2-\frac{1}{2}k(k+1) \)

よって求める格子点の数は

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