放物線とその法線の間の面積の最小値

答え
\( P(t,t^2) \)とおく。Pから引いたCの接線の傾きは2atなので
法線の傾きは\(\displaystyle -\frac{1}{2at}\)
よって法線の方程式は
\(\displaystyle y-at^2=-\frac{1}{2at}(x-t) \)
整理すると
\(\displaystyle y=-\frac{1}{2at}x + \frac{1}{2a}+at^2 \)
よってこれとCの交点のx座標は
\( \displaystyle ax^2=-\frac{1}{2at}x + \frac{1}{2a}+at^2 \)
の解。
\(\displaystyle ax^2 +\frac{1}{2at}x - \frac{1}{2a}-at^2 \\ = \displaystyle a(x-t)(x+\frac{1}{2a^2t}+t) \)
なので
解は\(\displaystyle x=t, -\frac{1}{2a^2 t}-t \)
よってCとℓで囲まれる部分の面積は
t>0のとき
\(\displaystyle \int_{-\frac{1}{2a^2 t}-t}^t a(x-t)(x+\frac{1}{2a^2 t} +t )dx \\ = \frac{a}{6}(t+\frac{1}{2a^2 t} +t )^3 \)・・・①
t<0のとき
\(\displaystyle \int_t^{-\frac{1}{2a^2 t}-t} a(x-t)(x+\frac{1}{2a^2 t} +t )dx \\ = \frac{a}{6}(-t -\frac{1}{2a^2 t} -t )^3 \)・・・②①②ともに( )の中が最小の時に面積が最小となる。
t>0のとき相加相乗平均の関係より
\( \displaystyle 2t+\frac{1}{2a^2 t} \geq 2 \sqrt{2t \cdot \frac{1}{2a^2 t} }=\frac{2}{a} \)
等号成立は\( 2t=\frac{1}{2a^2 t} \)，つまりt>0より\( t=\frac{1}{2a} \)のとき。
t<0のときも(-t)>0となるから相加相乗平均の関係より
\( \displaystyle (-2t)+\frac{1}{2a^2 (-t)} \geq 2\sqrt{(-2t)(\frac{1}{2a^2(-t)})} = \frac{2}{a} \)
等号成立は\( (-2t)=\frac{1}{2a^2 (-t)} \)，つまりt<0より\(t=-\frac{1}{2a} \)のとき。
①②のときの最小値は等しいので
求める面積の最小値は\(\displaystyle \frac{a}{6}(\frac{2}{a})^3=\frac{4}{3a^2} \)

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