チェビシェフの多項式（cosのn倍角の公式）

上野竜生です。cosのn倍角の公式を紹介します。

cosのn倍角の公式

始めのうち(n=3まで)は教科書で習いますし，n=4,5ぐらいなら現実的な時間で導けると思います。結果だけ示します。

cosθ=cosθ

cos2θ=2cos²θ-1

cos3θ=4cos³θ-3cosθ

cos4θ=8cos⁴θ-8cos²θ+1

cos5θ=16cos⁵θ-20cos³θ+5cosθ

・・・

ここから任意の自然数nについて「cosnθはcosθの多項式で表せそうだな・・・」と思うかもしれません。これは正しいのでしょうか？答えはYesです。これを証明します。

チェビシェフの多項式（結果）

まず結果だけ述べます。

ではこれを証明します。

チェビシェフの多項式（証明）

n=1,2のときT_n(x)が正しいことは明らか。漸化式を示す。

三角関数の加法定理より

cos(n+1)θ=cosnθcosθ-sinnθsinθ

cos(n-1)θ=cosnθcosθ+sinnθsinθ

辺々加えると

cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=2cosnθcosθ

よってcos(n+1)θ=2cosθcosnθ-cos(n-1)θ

つまり

cos(n+2)θ=2cosθcos(n+1)θ-cosnθ

となるから

T_n+2(x)=2xT_n+1(x)-T_n(x)

が成立。

＜別解＞　ド・モアブルの公式を利用する

この場合，漸化式ではなく一般項（ただしΣは残る）が出てきます。

ド・モアブルの公式より

\( \cos{n\theta}+i\sin{n\theta}\\=(\cos{\theta}+i\sin{\theta})^n \\ \displaystyle = \sum_{k=0}^n {}_nC_{k} \cos^{n-k}\theta+(i\sin{\theta})^k \)

ここで実部だけを取り出す。右辺はkが奇数のときは純虚数でkが偶数のときが実数なのでkが偶数のときだけを足せば良い。よって

\(\displaystyle \cos{n\theta}= \sum_{k=0}^{n'} {}_nC_{2k} (\cos{\theta})^{n-2k}(-\sin^2{\theta})^k \\
\displaystyle = \sum_{k=0}^{n'} {}_nC_{2k} (\cos{\theta})^{n-2k}(\cos^2{\theta}-1)^k \)

ただし\(\displaystyle n'=[\frac{n}{2}]=\begin{eqnarray} \begin{cases}    \frac{n}{2} & ( nが偶数 ) \\ \frac{n-1}{2} & ( nが奇数 ) \end{cases} \end{eqnarray}\)

よって

\(\displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^{n'} {}_nC_{2k} x^{n-2k} (x^2-1)^k \)

である。

＜補足＞もっときれいに書ける

導出過程がやや面倒ですので省略しますが漸化式で書かれたT_n(x)の式は次のようにきれいに解くことができます。

\( \displaystyle T_n(x)=\sum_{k=0}^{n'} \frac{(-1)^k n}{2(n-k)}{}_{n-k}C_k (2x)^{n-2k} \)

sinやtanは・・・？

sinnθがsinθの多項式でかけるかと言うと答えはNoです（n=2ですでに反例）が，

sinnθ=sinθ×(cosθの多項式）

の形で書けます。

tannθはそもそも加法定理がtanのみで表せるのでもちろんtanθのみでかけますが分数であることには変わりありません。

cos以外はやや複雑ですのでこれらは次回にします。