上野竜生です。カージオイドの性質をまとめました。
カージオイドの媒介変数表示
\( \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x =(1+\cos{\theta})\cos{\theta}\\ y=(1+\cos{\theta})\sin{\theta} \end{array} \right.\end{eqnarray}\)
である。特に極座標表示で\( r=1+\cos{\theta} \)と書ける。
カージオイドの内部の面積は\( \frac{3}{2}\pi a^2\)
[証明] y>0の部分をもとめて2倍する。
\(y=a(1+\cos{\theta})\sin{\theta} >0\)の上側の部分を\(y_1\),下側の部分を\(y_2\)とする。（回転体の体積の時も同様）
\(\displaystyle 2\left(\int_{-\frac{a}{4}}^{2a}y_1 dx - \int_{-\frac{a}{4}}^{0}y_2 dx \right) \\
\displaystyle =2\int_{\theta=\pi}^{\theta=0} y dx \\
\displaystyle =2\int_{\pi}^{0} a(1+\cos{\theta})\sin{\theta}(-a\sin{\theta}-2a\sin{\theta}\cos{\theta})d\theta \left(∵\frac{dx}{d\theta}=-a\sin{\theta}-2a\sin{\theta}\cos{\theta}\right) \\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} (1+\cos{\theta})\sin{\theta}\sin{\theta}(1+2\cos{\theta}) d\theta \\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} (1+\cos{\theta})(1-\cos^2{\theta})(1+2\cos{\theta}) d\theta \\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} ( 1+3\cos{\theta}+\cos^2{\theta}-3\cos^3{\theta}-2\cos^4{\theta} ) d\theta \\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} ( 1+\cos^2{\theta}-2\cos^4{\theta} ) d\theta \left( ∵ \int_{0}^{\pi} \cos{\theta}d\theta=\int_{0}^{\pi} \cos^3{\theta}d\theta=0 \right) \\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} \left( 1+\frac{1+\cos{2\theta}}{2}-2\left(\frac{1+\cos{2\theta}}{2}\right)^2 \right) d\theta \\\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos{2\theta}-\frac{1}{2}-\cos{2\theta}-\frac{1}{2}\cos^2{2\theta} \right) d\theta\\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} \left( 1-\frac{1}{2}\cos{2\theta}-\frac{1}{2}\frac{1+\cos{4\theta}}{2} \right) d\theta\\
\displaystyle =2a^2\int_{0}^{\pi} \left( \frac{3}{4}-\frac{1}{2}\cos{2\theta}-\frac{1}{4}\cos{4\theta} \right) d\theta\\
\displaystyle =2a^2 \left[ \frac{3}{4}\theta-\frac{1}{4}\sin{2\theta}-\frac{1}{16}\sin{4\theta} \right]_{0}^{\pi}\\
\displaystyle =2a^2\cdot \frac{3\pi}{4} \\
\displaystyle = \frac{3}{8} \pi a^2 \)
カージオイドをx軸中心に1回転させてできる立体の体積は\( \frac{8}{3}\pi a^3 \)
[証明]
\(\displaystyle \left(\int_{-\frac{a}{4}}^{2a}\pi y_1^2 dx - \int_{-\frac{a}{4}}^{0} \pi y_2^2 dx \right) \\
\displaystyle =\int_{\theta=\pi}^{\theta=0} \pi y^2 dx \\
\displaystyle =\int_{\pi}^{0} \pi a^2(1+\cos{\theta})^2\sin^2{\theta}(-a\sin{\theta}-2a\sin{\theta}\cos{\theta})d\theta\\
\displaystyle =\pi a^3\int_{0}^{\pi} (1+\cos{\theta})^2\sin^2{\theta}\sin{\theta}(1+2\cos{\theta}) d\theta \\
\displaystyle =\pi a^3\int_{0}^{\pi} (1+\cos{\theta})^2(1-\cos^2{\theta})(1+2\cos{\theta})\sin{\theta} d\theta \)
ここで\(t=\cos{\theta}\)と置換すると
\(\displaystyle =\pi a^3 \int_{1}^{-1} \left( (1+t)^2(1-t^2)(1+2t)\cdot(-1) \right)dt \\
\displaystyle =\pi a^3 \int_{-1}^{1} (-2t^5-5t^4-2t^3+4t^2+4t+1)dt \\
\displaystyle =2\pi a^3 \int_{0}^{1} (-5t^4+4t^2+1)dt \\
\displaystyle =2\pi a^3 \left[-t^5+\frac{4}{3}t^3 +t \right]_{0}^{1}\\
\displaystyle =\frac{8}{3}\pi a^3 \)
カージオイドの長さは8a
[証明] y>0の部分を求めて2倍する。
\( \displaystyle 2\int_{0}^{\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta} \right)^2} d\theta \\
= \displaystyle 2\int_{0}^{\pi} \sqrt{(-a\sin{\theta}-2a\sin{\theta}\cos{\theta})^2+(a\cos{\theta}(1+\cos{\theta})-a\sin^2{\theta})^2 } d\theta \\
= \displaystyle 2a\int_{0}^{\pi} \sqrt{(\sin{\theta}+\sin{2\theta})^2+(\cos{\theta}+\cos{2\theta})^2} d\theta \\
= \displaystyle 2a\int_{0}^{\pi} \sqrt{2+2\sin{2\theta}\sin{\theta}+2\cos{2\theta}\cos{\theta}} d\theta \\
= \displaystyle 2\sqrt{2}a\int_{0}^{\pi} \sqrt{1+\cos{(2\theta-\theta)}} d\theta \\
= \displaystyle 2\sqrt{2}a\int_{0}^{\pi} \sqrt{2\cos^2{\frac{\theta}{2}}} d\theta \\
= \displaystyle 4a\int_{0}^{\pi} \cos{\frac{\theta}{2}} d\theta \\
= \displaystyle 8a \left[\sin{\frac{\theta}{2}} \right]_{0}^{\pi} \\
=8a \)
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