○の倍数判定法まとめ

上野竜生です。○の倍数の問題は本来中学入試レベルですが，大学入試でも場合の数の問題などでたまに出るので紹介します。基本的に証明はほぼワンパターンです。

2・４・８の倍数

[nが8の倍数⇔nの下3ケタが8の倍数]の証明

nの下3ケタをyとするとn=1000x+y(x,yは整数)とおける。

1000は8の倍数だからnを8で割った余りとyを8で割った余りは等しい。

よってnが8の倍数⇔yが8の倍数　である。

5・25・125の倍数

3・9の倍数

[証明]たとえば4ケタの整数n=abcdとする(千の位がa，・・・，一の位がd）とするとn=1000a+100b+10c+d=a+b+c+d+(999a+99b+9c)

()内は3の倍数かつ9の倍数なので4ケタの場合はこれで証明できた。一般の桁数の場合でも同様。

6の倍数など

このようなものは「６の倍数＝２の倍数かつ３の倍数」　という風に判断すればよい。つまりnが6の倍数⇔nの各位の数字の和が3の倍数かつ，一の位が偶数　である。

11の倍数

（例）1234567

下から2ケタずつ区切る。(1|23|45|67)

それらの和が11の倍数であるときに限りもとの数は11の倍数。

この場合，1+23+45+67=136は11の倍数ではないので元の数も11の倍数ではない。

[証明]これもn=abcdとおく。ただしdは下2ケタ。（さっきの例だとd=67)，cはその上2ケタ（c=45)・・・と言う風にするとn=1000000a+10000b+100c+d=a+b+c+d+(999999a+9999b+99c)

( )内は11の倍数なので元の数は11の倍数。同様にして3ケタずつ区切れば111の倍数が示せ，つまり111=37×3より37の倍数判定法も導ける。

7の倍数

例：123456654321は7の倍数か？

[手順1]　下から3ケタずつ区切り交互に色分けする（今回は黒と赤で色分けします）

123|456|654|321

[手順2]　黒同士の和と赤同士の和を求める。

黒：456+321=777
赤：123+654=777

[手順3]　それらの差が7の倍数ならば元の数も7の倍数。

今回は777-777=0が7の倍数なので123456654321は7の倍数。

[証明]　1001＝7×11×13を使う

下から3ケタずつ区切りabcdとする。つまり，元の数は
1000000000a+1000000b+1000c+d
=1001000000a+1001000b+1001c+d-1000000a-1000b-c
下線部は7の倍数なので7mとおく。すると

n=-1000000a-1000b-c+d+7m
=-1001000a-1001b-c+d+1000a+b-c+d

下線部は7の倍数なので7kとおく。すると

n=1000a+b-c+d+7(m+k)
=1001a-a+b-c+d+7(m+k)
=-a+b-c+d+7(m+k+143)

となるので-a+b-c+dが7の倍数なら元の数も7の倍数。

一般の桁数でも同様です。また同様の議論で13の倍数も言えます。（下線部は7の倍数と言いましたが実際は1001の倍数なので13の倍数でもあります）

これでかなり示せました。最後に応用問題を出してみます。大学入試ではほぼ出ないのでサクっと答えを見てもいいでしょう。

応用１

応用２