2次方程式の解の範囲から定数の範囲を定める難問

上野竜生です。基本パターン「は・じ・き」で解けるタイプをマスターした人はこれで満足しがちですがなんとも厄介なことに類似のラスボスが待っています。しかも「は・じ・き」パターンと勘違いしてしまうぐらい良く似ています。今回はラスボスを倒しましょう。

例題（式はは・じ・きのときと同じです）

以下ではf(x)=x²-2(a+1)x-2(a-3)とします。

f(x)=0の判別式をDとするとD/4=(a+1)²+2(a-3)=a²+4a-5=(a+5)(a-1)
f(x)={x-(a+1)}²-a²-4a+5より軸のx座標はa+1
f(0)=6-2a , f(4)=16-8(a+1)-2a+6=14-10a

の計算は本質ではないので計算途中の式は端折ります。

(1)　f(0)f(4)<0で解けそう・・・と思うかもしれませんが落とし穴があります。確かにそのときはOKです。でもf(0)f(4)≧0のときはNGでしょうか？実はf(0)f(4)>0のときは問題ありません。（x軸を横切る回数は0回か2回になるため）。f(0)f(4)=0のときはもしかしたら条件を満たしてしまうかもしれません。そこでf(0)f(4)=0のとき，つまりf(0)=0のときとf(4)=0のときは別に考えましょう。

(2)　0<x<4の範囲に2つの実数解をもつ条件はは・じ・きパターンなのでそれを求めて(1)も求めてその2つを合わせたものが答えとなります。その際2つの実数解とは「重解も含めて2つ」と考えるのが良いです。

別解（定数分離）

こういうタイプは定数分離でもとけます。

まず定数分離すると\( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+6}{2x+2}=a\)

\( \displaystyle f(x)=\frac{x^2-2x+6}{2x+2} \)とy=aの交点が(1)では「実数全体で2つかつ0<x<4の範囲に1つ」，(2)では0<x<4に少なくとも1つあればよい。

\( \displaystyle f'(x)=\frac{(2x-2)(x+1)-x^2+2x-6}{2(x+1)^2}\)

(分子)=2x²-2-x²+2x-6=x²+2x-8=(x+4)(x-2)より

\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x+4)(x-2)}{2(x+1)^2}\)

よって0≦x≦4におけるf(x)の増減表とグラフは次の通り

\( \begin{array}{c|ccccccccccc} x & \cdots & -4 & \cdots & (-1) & \cdots & 0 & \cdots & 2 & \cdots & 4 & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & - & & - & - & - & 0 & + & + & +  \\ \hline f(x) & \nearrow & -5 & \searrow & & \searrow & 3 & \searrow & 1 & \nearrow & \frac{7}{5} & \nearrow \end{array}\)

よってこれとy=aの交点の数を調べると

(1)　\( \displaystyle \frac{7}{5}\leq a<3\)

(2)　\( 1 \leq a <3 \)

となる。