2次関数の応用（分数関数の値域）

答え(1) \(\displaystyle y=\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x+3}=1-\frac{6}{x^2+2x+3}=1-\frac{6}{(x+1)^2+2}\)
\( (x+1)^2+2 \geq 2 \)なので\(\displaystyle -3 \leq \frac{-6}{(x+1)^2+2} <0 \)
\(\displaystyle -2 \leq 1-\frac{6}{(x+1)^2+2}<1 \)
\(\displaystyle -2 \leq \frac{x^2+2x-3}{x^2+2x+3}<1 \)
(2)\(\displaystyle \frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+3}=k \)とおく。
\( x^2+2x+3=(x+1)^2+2 \neq 0 \)より両辺を\( x^2+2x+3 \)倍すると
\( x^2-2x-3=k(x^2+2x+3) \)
\( (k-1)x^2 +2(k+1)x +3(k+1)=0 \)・・・①
これが実数解をもつようなkの取り得る範囲が求めるものである。
k=1のとき4x+6=0　∴\( x=-\frac{3}{2} \)
k≠1のとき①の判別式をDとすると
D/4 \(= (k+1)^2 -3(k+1)(k-1) \)
\( =(k+1)(4-2k) \geq 0 \)
∴-1≦k≦2
以上をあわせると\(\displaystyle -1 \leq \frac{x^2-2x-3}{x^2+2x+3} \leq 2 \)
(3)①がx≧0の範囲に実数解をもつようなkの範囲が求めるものである。
[残りは解の配置問題ですがまず厄介な境界部分「重解のとき」「x=0を解にもつとき」を調べて残りは基本のは・じ・きパターンに帰着します]
k=1のときx<0の解になるので不適。
k≠1のとき①は2次方程式である。
ア）①がx=0を解に持つとき
①に代入するとk=-1
k=-1のとき①は\( -2x^2=0\)よりx=0を解にもつから適。
イ）①が重解をもつとき
(2)と同様にするとk=-1,2である。
k=-1のときア）と同様にして適。
k=2のとき①は\( x^2+6x+9=0 \)はx=-3を解にもつから不適。
ウ）これ以外の時は実数解が0個または2個であり，x=0は解に持たないので
「異なる2つの正の実数解」「正の実数解と負の実数解」「異なる2つの負の実数解」「実数解なし」のどれかである。
「異なる2つの正の実数解」を持つ条件は
・判別式>0（つまり-1＜k＜2）
・軸（\(-\frac{k+1}{k-1}\)）＞0つまり-1＜k＜1
・境界　軸の条件からk＜1なので上に凸となることに注意する
（①の左辺にx=0を代入した値）＜0　つまりk＜-1
まとめると共通部分なし
「正の実数解と負の実数解」を持つ条件は
下に凸(k＞1のとき)境界（①の左辺にx=0を代入した値）＜0つまりk＜-1
上に凸(k＜1のとき)境界（①の左辺にx=0を代入した値）＞0つまりk＞-1
まとめると-1＜k＜1
以上すべてをまとめると-1≦k＜1

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