正十二角形の3点を結んでできる三角形の個数（種類別）｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。正n角形のn個の頂点の中から3つの点を結んでできる三角形の個数についての問題は私立大学でたまに見かけます。頻出の十二角形の場合で徹底的に調べておきます。

問題

正十二角形A₁A₂A₃・・・A₁₁A₁₂がある。この中から3点を選んでつぎのような三角形は何個つくれるか？
(1)三角形
(2)正三角形
(3)二等辺三角形(正三角形を除く)
(4)直角三角形
(5)鋭角三角形

答え(1)12個の点から3つを選べばよいから₁₂C₃=220個
$正三角形の数$
(2)(1,5,9),(2,6,10),(3,7,11),(4,8,12)の4個。
$二等辺三角形の数$
(3)頂角をA₁としたときの残りの点の決め方は(2,12),(3,11),(4,10),(6,8)の4つ。
頂角をA₂,A₃,・・・A₁₂としても同様に4つずつあるから4×12=48個
(4)直角三角形ということはどこかに直角があるわけですが円周角の定理から斜辺は直径です。まずは直径を固定しましょう。
$直角三角形の数$
直径をA₁A₇とする。このとき残りの1つの点の選び方は10通り。
直径の選び方は6通りあるから60通り。
(5)鋭角三角形は実は求めにくいのです。全体から引くほうが楽です。
鈍角三角形の数を数える
$鈍角三角形の数$ 鈍角三角形の鋭角のうちの１つをA₁とする。
残りの頂点は「A₂～A₆から2つ」または「A₈～A₁₂から2つ」選べばよい。（鈍角の円周角に対する中心角は180°より大きいから）
よって₅C₂×2=20通り。
頂点の選び方が12通りあるから240通り。
ただし鈍角三角形の鋭角は2つあるから2つずつカウントしている。（例A₁を固定してA₁-A₁₀-A₁₂とA₁₀を固定してA₁₀-A₁₂-A₁が重複する）
240÷2=120通り。←鈍角三角形の数。
よって鋭角三角形の数は
220-60-120=40個

普通の応用問題かと思ったら意外と新たな学びも多かったと思います。1回解いてみると他の受験生と差がつきますね。最近でも入試で出ていますので特に私立大学志望者は一度見ておきましょう。

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

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