a_(n+1)=pa_n+qの形とa_(n+1)=pa_n+f(n)の漸化式の解き方

上野竜生です。今回は特殊解型の漸化式を紹介します。前半は教科書にも載っている超基礎タイプですが，後半は少し難問です。中堅大学までなら後半は知ってなくてもいいかもしれません。

特殊解型：\(a_{n+1}=pa_n+q \)

解法
ある「うまい数α」を両辺から引くと
\( a_{n+1}-\alpha = p(a_n-\alpha )\)・・・(★)
となるので\( \{ a_n-\alpha \} \)が初項\(a_1-\alpha \)，公比pの等比数列になる。その等比数列を求めた後，αを足せばよい。よって
\(a_n= (a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha \)
あとはこの「うまい数α」を求めればよい。(★)ともとの漸化式を見比べると

なので\( \alpha-p\alpha=q \)
よってp=1のときはただの等差数列だからp≠1の場合のみ考えればよく
\(\alpha=\frac{q}{1-p} \)とすればよい。

ところで，漸化式の\(a_n,a_{n+1}\)の部分を\(\alpha\)におきかえて得られる式
\( \alpha=p\alpha+q \)
の解が「うまい数」になっていることに注意。
このことから「漸化式の\(a_n,a_{n+1}\)の部分を\(\alpha\)におきかえて得られる式」のことを特性方程式と呼ぶ。

まとめるとこのタイプの解き方は次のようになります。

例題１

\(a_{n+1}=pa_n+f(n)\)

このタイプの解き方は一般的な解法①と少し邪道的な解法②があり，実際は②のほうが強力です。

一般的な解法①

両辺をpⁿ⁺¹で割ると
\(\displaystyle \frac{a_{n+1}}{p^{n+1}}=\frac{a_n}{p^n}+\frac{f(n)}{p^{n+1}} \)
\(\displaystyle \frac{a_n}{p^n}=b_n \)とおくと
\(\displaystyle b_{n+1}=b_n+\frac{f(n)}{p^{n+1}}\)
となるから階差数列型に帰着される。

ただ階差数列型は最後にΣ計算が必要で，このΣ計算が非常に大変なのでそれを避ける邪道的解法②のほうが役に立つこともあります。

邪道的解法②

両辺にうまい関数g(n)を加えて
\( a_{n+1}+g(n+1)=p( a_n+g(n)) \)
の形になれば等比数列型に帰着される。もとの漸化式と比べると
\( f(n)=pg(n)-g(n+1) \)
これを満たすようにうまくg(n)を見つければよい

このg(n)を一般の場合で求めるのは漸化式を解く以上に大変ですがf(n)が多項式や指数関数など簡単な形なら形を予想して係数比較して定めることもできます。これでうまく見つかればかなり計算がショートカットされるので強力な解法になります。

例題２