ベクトル方程式（円の接線）

上野竜生です。今回は円の接線のベクトル方程式を紹介します。

基本

この図で直線BPが円の接線であるとき次の2つが成り立つ。
・AB⊥BP
ここからベクトル得られるベクトル方程式は
\(\vec{AB}\cdot \vec{BP}=0 \)・・・①
これは確かに円の接線のベクトル方程式として正しいのですが今回紹介したい考えは次の式でこちらのほうが重要です。
・∠PAB=θとするとAPcosθ=AB
ここから内積の定義などを用いて次のベクトル方程式が得られる。
\(\vec{AB}\cdot \vec{AP}=r^2 \)・・・②（rは円の半径。特に一定値であることが重要）

①式は覚えなくてもすぐできると思いますが②式が重要なのでできれば覚えておきましょう。

練習１

答え
\( \vec{AB}\cdot \vec{AB}=r^2 \)を①式の両辺に加えると
\(\vec{AB} \cdot (\vec{AB}+\vec{BP}) =r^2 \)
\(\vec{AB}+\vec{BP}=\vec{AP} \)なので求める式を得る。

②から①も同様に引き算すればよいので①と②は同値であることがわかりますね。

練習２

答え
②式を成分で表すだけ。
\(\vec{AB}=(s-a,t-b) , \vec{AP}=(x-a,y-b) \)なので
\(\vec{AB}\cdot \vec{AP}=r^2 \)に代入すると
\((s-a)(x-a)+(t-b)(y-b)=r^2 \)

このように簡単に得られます。この結果も暗記しておくとよいですが細部を忘れがち（たとえば右辺の2乗が抜けたり右辺を0にしたり）なので忘れたとき復元できるようにしておきましょう。