垂直条件の式2パターン

上野竜生です。直線が垂直に交わることを式で表現するとき2つの方法があります。その違いを理解しておきましょう。混同した式を書いてしまうミスを防ぐ方法を述べます。

直線の傾きの積が-1

内積が0

これを使う方法もあります。

どちらがいいかは問題にもよります。両方使えるようにしましょう。一番ダメなのは混同することです。たとえば内積が-1とする間違いは絶対にダメです。

もしも逆をやってしまったら・・・？

傾きの積を0にした場合

mm'=0とするとm=0またはm'=0となります。これはどちらかがx軸に平行でないと垂直になれないということになりますがおかしいですね。異変に気付けるようにしましょう。

内積を-1にした場合

こちらはなかなか難しいですが、そもそも内積の式
\( \vec{a} \cdot \vec{b}= | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{\theta} \)を使えばピッタリ-1になるのは難しいということがわかるでしょう。

本来は垂直に交わる⇒\( \vec{a} \)と\( \vec{b} \)のなす角\( \theta \)が90度→
\( \vec{a} \cdot \vec{b}= | \vec{a} | | \vec{b} | \cos{90°}=0 \)

という考えになります。

片方を仮定してもう片方を証明

\( \vec{a}=(a,b) , \vec{b}=(c,d)\)とする。
傾きはそれぞれ\( \displaystyle \frac{b}{a} , \frac{d}{c}\)より
\( \displaystyle \frac{b}{a}\cdot \frac{d}{c}=-1 \)

⇔\(ac+bd=0\)

⇔\( \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \)

となります。