素因数分解のやり方・簡単な応用問題

答え(1)明らかに偶数なので2で割り切れる。　3600÷2=1800
1800も明らかに偶数なので2で割り切れる。1800÷2=900
以下繰り返すと900÷2=450 , 450÷2=225
∴3600=2⁴×225
225は2では割り切れないが3で割り切れる。225÷3=75
同様に75÷3=25で25は3で割り切れない。
∴3600=2⁴×3²×25
25は5で割り切れる。25÷5=5　よって25=5²なので
3600=2⁴×3²×5²
(2)　2597は2,3,5では割り切れない。
2597÷7=371　　371÷7=53なので7で2回割り切れる。
∴2597=7²×53
53が素数かどうかを調べるには\(\sqrt{53} \)まで調べればよい。つまり\(\sqrt{53}\)以下の素数7まで調べて割り切れなければ53は素数。
53は2,3,5,7で割り切れないので素数。よって
2597=7²×53
(3)　12626÷2=6313
∴12626=2×6313
6313が素数かどうか調べるには\(\sqrt{6313} \)以下の素数，つまり79以下の素数で順番に割っていけばよい。
順番に割っていくと59で割り切れ、6313=59×107
107が素数かどうか調べるには\(\sqrt{107}\)以下の素数，つまり10以下の素数で順番に割ればいいが，もうすでに確認した。よって
12626=2×59×107

答え126000=2⁴・3²・5³・7である。
n=2^a・3^b・5^c・7^d・N　(a,b,c,d≧0, Nは2,3,5,7で割り切れない整数）とおける。
(1)　\(\displaystyle \frac{n^3}{126000}=\frac{2^{3a}\cdot 3^{3b}\cdot 5^{3c}\cdot 7^{3d}\cdot N^3}{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3\cdot 7}\)
なのでこれが整数になるには
3a≧4, 3b≧2, 3c≧3, 3d≧1が必要。よって最小となるのは
a=2, b,c,d=1 ,N=1のとき。
このときn=2²・3・5・7=420
(2)　\(\displaystyle \frac{126000}{n^2}=\frac{2^4 \cdot 3^2 \cdot 5^3\cdot 7}{2^{2a}\cdot 3^{2b} \cdot 5^{2c}\cdot 7^{2d}\cdot N^2} \)
なのでこれが整数になるには
4≧2a, 2≧2b, 3≧2c , 1≧2d, N=1が必要（∵Nは2,3,5,7で割り切れない）
よって最大となるのはa=2, b=1, c=1, d=0 ,N=1のとき
このときn=2²・3・5・7⁰=60

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