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上野竜生です。今回は三角関数の方程式を解くやり方を紹介します。ただ，一般にこうやればいいというのはなく，三角関数のたくさんある性質をうまく使って解くことになります。基本の(1)だけ解ければあとは今までの応用力を試すだけです。
例題
\(0 \leq x <2\pi \)の範囲で次の方程式を解け。
(1)\(\displaystyle \sin{(2x+\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2} \)
(2)\(\sqrt{3} \sin{x}+\cos{2x}=-2 \)
(3)\(\sqrt{3} \sin{2x}+\cos{2x}=-2 \)
(4)\( \cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}=0 \)
(5)\(\sin{x}+\cos{x}+\sin{3x}=0 \)
(1)\(\displaystyle \sin{(2x+\frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2} \)
(2)\(\sqrt{3} \sin{x}+\cos{2x}=-2 \)
(3)\(\sqrt{3} \sin{2x}+\cos{2x}=-2 \)
(4)\( \cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}=0 \)
(5)\(\sin{x}+\cos{x}+\sin{3x}=0 \)
答え(1)一般に\( \sin{X}=\frac{1}{2 }\)ならば\( X=\frac{\pi}{6} + 2n\pi , \frac{5}{6}\pi + 2n\pi \)(nは整数)です。それを求めてからXの範囲を求めてnを定めてもいいですが，先にXの範囲を求めてそれにあう解を書き出す方がスッキリ書けます。（やってることは同じです）
\( 0\leq x <2\pi \)より\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \leq 2x+\frac{\pi}{4} <\frac{17}{4}\pi \)
\(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{4} = \frac{5}{6}\pi , \frac{13}{6}\pi , \frac{17}{6}\pi , \frac{25}{6}\pi \)
\(\displaystyle x = \frac{7}{24}\pi , \frac{23}{24}\pi ,\frac{31}{24}\pi , \frac{47}{24}\pi \)
(2)\(\cos{x}=1-2\sin^2{x} \)という公式を思い出すとsinxだけの2次方程式になります。
\( \sqrt{3} \sin{x}+\cos{2x}=\sqrt{3} \sin{x}+1-2\sin^2{x}=-2\)
∴\( 2\sin^2{x}-\sqrt{3} \sin{x}-3=0 \)
\(\displaystyle \sin{x}=\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3+24}}{4} \) ∴\(\displaystyle \sin{x}=\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\sin{x}\leq 1\)なので\(\displaystyle \sin{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
よって\(\displaystyle x=\frac{4}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi \)
(3)合成すると
\( \sqrt{3}\sin{2x}+\cos{2x}=2\sin{(2x+\frac{\pi }{6})}=-2 \)
\( 0\leq x < 2\pi \)なので\( \frac{\pi}{6} \leq 2x+\frac{\pi}{6} < \frac{25}{6}\pi \)
よって\(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{6} =\frac{3}{2}\pi , \frac{7}{2}\pi \)
∴\(\displaystyle x =\frac{2}{3}\pi , \frac{5}{3}\pi \)
(4)2・3倍角の公式より
\(\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}\\ =\cos{x}+2\cos^2{x}-1+4\cos^3{x}-3\cos{x} \\ = 4\cos^3{x}+2\cos^2{x}-2\cos{x}-1 \\ = 2\cos^2{x}(2\cos{x}+1)-(2\cos{x}+1) \\ = (2\cos^2{x}-1)(2\cos{x}+1) \)
∴\( \displaystyle \cos{x}=-\frac{1}{2} , \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)となるから
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4},\frac{2}{3}\pi , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4} \pi , \frac{4}{3}\pi , \frac{7}{4} \pi \)
(5)和積の公式より
\(\sin{3x}+\sin{x}=2\sin{2x}\cos{x} \)
であることに注意すると
\(\sin{x}+\cos{x}+\sin{3x}=\cos{x}(2\sin{2x}+1) =0 \)
よって\(\cos{x}=0\)または\(\displaystyle \sin{2x}=-\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{2} , \frac{3}{2}\pi \)または\(\displaystyle 2x=\frac{7}{6}\pi , \frac{11}{6}\pi , \frac{19}{6}\pi , \frac{23}{6}\pi \)
以上より
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{2} , \frac{7}{12}\pi , \frac{11}{12}\pi , \frac{3}{2}\pi , \frac{19}{12}\pi , \frac{23}{12}\pi \)
\( 0\leq x <2\pi \)より\( \displaystyle \frac{\pi}{4} \leq 2x+\frac{\pi}{4} <\frac{17}{4}\pi \)
\(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{4} = \frac{5}{6}\pi , \frac{13}{6}\pi , \frac{17}{6}\pi , \frac{25}{6}\pi \)
\(\displaystyle x = \frac{7}{24}\pi , \frac{23}{24}\pi ,\frac{31}{24}\pi , \frac{47}{24}\pi \)
(2)\(\cos{x}=1-2\sin^2{x} \)という公式を思い出すとsinxだけの2次方程式になります。
\( \sqrt{3} \sin{x}+\cos{2x}=\sqrt{3} \sin{x}+1-2\sin^2{x}=-2\)
∴\( 2\sin^2{x}-\sqrt{3} \sin{x}-3=0 \)
\(\displaystyle \sin{x}=\frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3+24}}{4} \) ∴\(\displaystyle \sin{x}=\sqrt{3},-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
\(\sin{x}\leq 1\)なので\(\displaystyle \sin{x}=-\frac{\sqrt{3}}{2} \)
よって\(\displaystyle x=\frac{4}{3}\pi ,\frac{5}{3}\pi \)
(3)合成すると
\( \sqrt{3}\sin{2x}+\cos{2x}=2\sin{(2x+\frac{\pi }{6})}=-2 \)
\( 0\leq x < 2\pi \)なので\( \frac{\pi}{6} \leq 2x+\frac{\pi}{6} < \frac{25}{6}\pi \)
よって\(\displaystyle 2x+\frac{\pi}{6} =\frac{3}{2}\pi , \frac{7}{2}\pi \)
∴\(\displaystyle x =\frac{2}{3}\pi , \frac{5}{3}\pi \)
(4)2・3倍角の公式より
\(\cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}\\ =\cos{x}+2\cos^2{x}-1+4\cos^3{x}-3\cos{x} \\ = 4\cos^3{x}+2\cos^2{x}-2\cos{x}-1 \\ = 2\cos^2{x}(2\cos{x}+1)-(2\cos{x}+1) \\ = (2\cos^2{x}-1)(2\cos{x}+1) \)
∴\( \displaystyle \cos{x}=-\frac{1}{2} , \pm \frac{\sqrt{2}}{2} \)となるから
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4},\frac{2}{3}\pi , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4} \pi , \frac{4}{3}\pi , \frac{7}{4} \pi \)
(5)和積の公式より
\(\sin{3x}+\sin{x}=2\sin{2x}\cos{x} \)
であることに注意すると
\(\sin{x}+\cos{x}+\sin{3x}=\cos{x}(2\sin{2x}+1) =0 \)
よって\(\cos{x}=0\)または\(\displaystyle \sin{2x}=-\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{2} , \frac{3}{2}\pi \)または\(\displaystyle 2x=\frac{7}{6}\pi , \frac{11}{6}\pi , \frac{19}{6}\pi , \frac{23}{6}\pi \)
以上より
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{2} , \frac{7}{12}\pi , \frac{11}{12}\pi , \frac{3}{2}\pi , \frac{19}{12}\pi , \frac{23}{12}\pi \)
もちろん(4)を和積の公式で解くこともできます。
(4)\( \cos{3x}+\cos{x}=2\cos{2x}\cos{x} \)なので
\( \cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}=\cos{2x}(2\cos{x}+1) \)
\(\cos{2x}=0 \)または\(\displaystyle \cos{x} = -\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4},\frac{2}{3}\pi , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4} \pi , \frac{4}{3}\pi , \frac{7}{4} \pi \)
(4)\( \cos{3x}+\cos{x}=2\cos{2x}\cos{x} \)なので
\( \cos{x}+\cos{2x}+\cos{3x}=\cos{2x}(2\cos{x}+1) \)
\(\cos{2x}=0 \)または\(\displaystyle \cos{x} = -\frac{1}{2} \)
\(\displaystyle x=\frac{\pi}{4},\frac{2}{3}\pi , \frac{3}{4}\pi , \frac{5}{4} \pi , \frac{4}{3}\pi , \frac{7}{4} \pi \)
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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