2つの線分の長さの和の最小値

上野竜生です。折れ線の長さの和の最小値を求める問題は試験でよく出ます。定石を知らないと膨大な計算量になるので知っておきましょう。

例題１

地道に計算すると次のような答えになります。

P(t,0)とおくと

なので

\( f(t)=\sqrt{t^2+1}+\sqrt{t^2-12t+40} \)とおき、f(t)の最小値を求めればよい。

\( \displaystyle f'(t)=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+\frac{t-6}{\sqrt{t^2-12t+40}}\\
=\displaystyle \frac{t\sqrt{t^2-12t+40}+(t-6)\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{(t^2+1)(t^2-12t+40)}}\)

f'(t)=0の解は

\( t\sqrt{t^2-12t+40}+(t-6)\sqrt{t^2+1}=0 \) の解なので

\( t\sqrt{t^2-12t+40}=(6-t)\sqrt{t^2+1} \)の両辺を2乗すると

よってt=-6,2となる。t=-6のときf'(-6)≠0なので増減表は

\(\begin{array}{c|ccccc} t &  \cdots & 2 & \cdots \\ \hline f’(t) &  – & 0 & + \\ \hline f(t) &  \searrow & 最小 & \nearrow \end{array}\)

となり、Pの座標は(2,0)で、最小値は\(f(2)=\sqrt{5}+\sqrt{20}=3\sqrt{5} \)

このように求められます。しかし、数IIまでしか学んでない人は微分ができませんし、何より計算が大変です。このような問題での裏技（もはや定石）を紹介します。

裏技

点A,Bが直線ℓに対して反対側にあり，直線ℓ上に点Pを，AP+PBが最小になるように取るとき
→Pの位置は線分ABとℓの交点で，その最小値はAB

これはなんとなくわかりますね。寄り道するよりもまっすぐ行くほうが距離が短いという当たり前の結果です。ではA,Bがℓに対し同じ側にある時はどうするのでしょうか？答えを教えます。

POINT点A,Bが直線ℓに対し同じ側にあり，直線ℓ上に点Pを，AP+PBが最小になるように取るとき
→ℓに対しAを対称移動させた点A'を求める。線分A'Bとℓの交点がPであり，最小値はA'B

[証明]

A'はAを直線ℓに対し対称移動させた点だからℓ上の点Pに対しAP=A'P

AP+PB=A'P+PB≧A'Bとなる。(A',Bはℓに対して反対側にあるから１つ前の結果を使えばわかる。)（Q.E.D.）

1つ前の結果からちゃんと証明すると結構大変なのでこのぐらいでいいです。なお，この考えを使うときは上ぐらいの簡単な証明は毎回書くようにしておくほうがいいです。

裏技を使った例題１の答え

A(0,1)をx軸について対称移動させた点をA'とするとA'(0,-1)

よってA'(0,-1),B(6,2)としたとき線分A'Bとx軸の交点がPである。

A'Bの式は\( y=\frac12 x -1 \)

これとx軸(y=0)の交点Pは(2,0) ∴P(2,0)

最小値はA'B=\( 3\sqrt5 \)

例題２

対称移動させた点がそんなに簡単に求まりませんが通常以下の考えで求めます。なお，Aを対称移動させてA'を求めても，Bを対称移動させてB'を求めてもどっちでも同じなので今回はBを対称移動させます。

いかがでしたか？初見の人にはあまり見たことないかもしれませんが入試頻出です。おさえておきましょう。