上野竜生です。方程式を解いて解を求めるというのは基本ですが逆に解が与えられて方程式を作成する問題も出ます。こういう問題の解き方をまとめました。
基本は解と係数の関係
答え\( x=\frac{1}{2},1,3\)が解だからこの方程式は定数cを用いて
\( c(x-\frac{1}{2})(x-1)(x-3)=0 \)となる。展開すると
\( c(x^3-\frac{9}{2}x^2+5x-\frac{3}{2})=0 \)
係数を整数にするにはc=2とすれば良いので求める方程式は
2x3-9x2+10x-3=0
もちろん最後でc=4,6,・・・やc=-2などを代入しても正解です。「1つ答えよ」なので何でもいいのです。
今回はすべての係数を計算する必要があったので展開しましたが，問題によっては係数の一部が空欄になっていることもありその場合は解と係数の関係を使うことになります。この問題でも係数をa,b・・・とおき解と係数の関係に持ち込んでも解けます。（ほとんど同じ解答です）
解の一部しかわかってなくても係数の条件で絞り込める！
2次方程式なので2つの解がわかれば先ほどと同様に展開するだけですが１つしかわかっていません。しかし解が複素数なのに係数は実数という条件から残りの１つの解もわかります。まずは正攻法で解きます。解を代入して係数の条件を求めるやり方です。
大原則として2次方程式であることとx2の係数が1なので求める2次方程式は2つの変数a,bを用いてx2+ax+b=0と書けます。あとは2つの係数を求めるだけという流れを知っているということが前提です。
答え求める2次方程式をx2+ax+b=0とする。x=2+3iが解だから
(2+3i)2+a(2+3i)+b=0
(-5+2a+b)+(12+3a)i=0
a,bは実数だから-5+2a+b=0かつ12+3a=0
よってa=-4,b=13となり2次方程式はx2-4x+13=0
これを解くとx=2±3iとなり残りの解はx=2-3i
ちなみにこの問題は次の共役性を知っていればx=2+3iが解ならばx=2-3iも解であることがすぐわかるので次のようにも解答できます。ただし共役性を使った採点基準がどうなってるかはわからないので上のやり方で書けるなら上の解答のほうがいいです。
答え係数は実数だから共役性よりx=2+3iが解ならばx=2-3iも解である。
2次方程式は高々2つの異なる解をもつから残りの解はx=2-3iだけである。
よって方程式はα=2+3i,β=2-3iとして
(x-α)(x-β)=x2-(α+β)x+αβ=0とかける。
α+β=4,αβ=13よりx2-4x+13=0
共役性は複素数でなくても「有理数係数でx=a+b√2などの解をもてばx=a-b√2なども解にもつ」場合にも言えます。
大体このどちらかのパターン（主に後者）で解けます。また他のパターンが見つかったら追記することにします。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
<高校数学>上野竜生です。数学のオススメ参考書などをよく聞かれますのでここにまとめておきます。基本的にはたくさん買うよりも…
上野竜生です。大学数学の参考書をまとめてみました。フーリエ解析以外は自分が使ったことある本から選びました。 大…
上野竜生です。当サイトでも少し前まで各ページで学習サイトをオススメしていましたが他にもオススメできるサイトはた…
