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上野竜生です。今回は条件付確率について紹介したいと思います。
公式
Aがおきるという条件の下でBがおきる条件付確率は\(\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(A)}\)
分母はAが起きる確率。分子はAかつBが起きる確率です。
たったこれだけですが結構間違えます。実際に問題を解いて理解しましょう。
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問題
あるゲームをA,B,Cさんで行う。このゲームに成功する確率はAさんが\(\displaystyle \frac{1}{10}\) , Bさんが\(\displaystyle \frac{1}{3} \) , Cさんが\(\displaystyle \frac{1}{4} \)である。
(1) 1人だけが成功する確率を求めよ。
(2) 1人だけが成功するという条件の下で，成功した人がAさんである条件付確率を求めよ。
(1) 1人だけが成功する確率を求めよ。
(2) 1人だけが成功するという条件の下で，成功した人がAさんである条件付確率を求めよ。
答え(1) Aさんだけが成功する確率は
\(\displaystyle \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{120} \)
Bさんだけが成功する確率は
\(\displaystyle \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{120} \)
Cさんだけが成功する確率は
\(\displaystyle \frac{9}{10}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{18}{120} \)
よって
\(\displaystyle \frac{6}{120}+\frac{27}{120}+\frac{18}{120}=\frac{51}{120}=\frac{17}{40}\)
(2) 条件付確率の公式から
\(\displaystyle \frac{\frac{6}{120}}{\frac{17}{40}}=\frac{6}{51}=\frac{2}{17}\)
\(\displaystyle \frac{1}{10}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{120} \)
Bさんだけが成功する確率は
\(\displaystyle \frac{9}{10}\cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4}=\frac{27}{120} \)
Cさんだけが成功する確率は
\(\displaystyle \frac{9}{10}\cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}=\frac{18}{120} \)
よって
\(\displaystyle \frac{6}{120}+\frac{27}{120}+\frac{18}{120}=\frac{51}{120}=\frac{17}{40}\)
(2) 条件付確率の公式から
\(\displaystyle \frac{\frac{6}{120}}{\frac{17}{40}}=\frac{6}{51}=\frac{2}{17}\)
結果的には(2)の結果は
\(\displaystyle \frac{(Aだけ成功)}{(Aだけ成功)+(Bだけ成功)+(Cだけ成功)}\\ \displaystyle=\frac{\frac{6}{120}}{\frac{6}{120}+\frac{27}{120}+\frac{18}{120}}=\frac{6}{6+27+18}=\frac{2}{17} \)
となります。
条件付確率の公式って確か分子のほうが複雑な式だったな・・・という中途半端な記憶では間違います。分子のほうが先に求めているので(2)でまた「1人成功かつAさんが成功の確率」を計算しなおす必要もないのです。
\(\displaystyle \frac{(Aだけ成功)}{(Aだけ成功)+(Bだけ成功)+(Cだけ成功)}\\ \displaystyle=\frac{\frac{6}{120}}{\frac{6}{120}+\frac{27}{120}+\frac{18}{120}}=\frac{6}{6+27+18}=\frac{2}{17} \)
となります。
条件付確率の公式って確か分子のほうが複雑な式だったな・・・という中途半端な記憶では間違います。分子のほうが先に求めているので(2)でまた「1人成功かつAさんが成功の確率」を計算しなおす必要もないのです。
よくある間違いとしては
\(\displaystyle \frac{\frac{1}{10}}{\frac{17}{40}}=\frac{4}{17} \)
・・・分子が単純な「Aさんの成功する確率」になっている（本当は「1人だけ成功かつAさんが成功」なのでB,Cさんは失敗しないといけない）
\(\displaystyle \frac{\frac{51}{120}}{\frac{6}{120}}=\frac{17}{2} \)
・・・分母分子が逆。これは確率が1を超えるのですぐに間違いに気付いてほしいです。
こういう問題は実際に手を動かさないとなかなか身に付きません。皆さんも練習問題を解いておきましょう。
解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか？数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました
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