関数の平行・対称移動の式

上野竜生です。関数の平行・対称移動の式は直接問われることは少ないですが知っていて当たり前になっている知識です。ここを間違うとかなり点数を落とすのでしっかり覚えましょう。

高校で習う関数はF(x,y)=0の形で書けます。

たとえばy=f(x)はyを右辺に移項するとf(x)-y=0となるのでF(x,y)=f(x)-yとおけばこのように書けます。

例：

• 放物線\( y=x^2+4x+5 \)　　 は \( F(x,y)=x^2+4x+5-y=0 \)
• 三角関数\( y=2\sin{x}+\cos{2x} \)は \( F(x,y)=2\sin{x}+\cos{2x}-y=0 \)
• 円\( x^2+y^2=9 \)　　　　　　　は \( F(x,y)=x^2+y^2-9=0 \)

と書けます。なのでF(x,y)の形だけ述べればOKです。ただ，y=f(x)の形でも見慣れておくべきでしょうからここでは両方書いておきます。覚えるときはF(x,y)だけ覚えてy=f(x)は復元できればOKです。

x軸方向にp,y軸方向にq平行移動

移動前のF(x,y)=0上の点(a,b)が(a+p,b+q)に移動されます。移動後の点(a+p,b+q)に対しF(x,y)=0を満たすには各座標からp,qをひけばいいことがわかります。しかし超頻出なのでいちいち考えなくてもできるように覚えておきましょう。

x軸について対称移動させた式

これを覚えるより少し一般化した形で覚えておくとよいでしょう。

• x座標は変化しない
• \( F(x,y)=0 \)上の点(x,y)と\( F(x,2b-y)=0 \)上の点(x,2b-y)の中点がy=b上
  と考えれば覚えやすいでしょう。

x軸対称は直線y=0に対称ということなのでこの式でb=0を代入した形になります。

y軸について対称移動させた式

これを覚えるより少し一般化した形で覚えておくとよいでしょう。

y軸対称は直線x=0に対称ということなのでこの式でa=0を代入した形になります。

点(a,b)について対称移動させた式

これは上のx→2a-xとy→2b-yを同時にすればOKです。

x=aについて対称移動したあと，y=bについて対称移動すればOKなので同時でなくてもいいのですが・・・。式で確認しておきましょう。

y=xについて対称移動させた式

\( F(x,y)=0 \)をy=xについて対称移動させた式は\( F(y,x)=0 \)

\( y=f(x) \)をy=xについて対称移動させた式は\( x=f(y) \)

これをy=の形に直し\( y=g(x) \)と表したとき，g(x)をf(x)の逆関数といい\( g(x)=f^{-1}(x) \)と書きます。