2つの事象が独立であるとは？

上野竜生です。2つの事象が独立であるということについて紹介します。

定義

通常は「独立であるからP(A∩B)=P(A)P(B)」　という風に⇒の矢印のみを使います。慣れればいちいち「独立だから」など書かずに当たり前のように使います。こちらについては練習しなくても割と明らかでしょう。

さて独立かどうかを調べるのは明らかな場合もありますが微妙な場合もあります。（次の例題参照）

微妙な場合に独立であるかどうかを調べるときは←の矢印を使って正確に調べることができます。例題を見てみましょう。

例題

答え

\(\displaystyle P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4} , P(B)=\frac{8}{36}=\frac{2}{9} , P(C)=\frac{5}{36} \)

AかつBは「2つのサイコロの目が(3,5)or(5,3)」と出る場合に限るので
\(\displaystyle P(A\cap B)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18} \)

「AかつC」も「BかつC」も「2つのサイコロの目が(3,5)or(5,3)」と出る場合に限るので
\(\displaystyle P(A\cap C)=P(B\cap C)=\frac{2}{36}=\frac{1}{18} \)

(1)　\(\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B) \)が成り立つので独立。
(2)　\(\displaystyle P(A\cap C)>P(A)P(C) \)となり，等しくないので独立ではない。
(3)　\(\displaystyle P(B\cap C)>P(B)P(C) \)となり，等しくないので独立ではない。