確率の計算　サイコロを投げる場合

上野竜生です。確率の計算方法をまとめました。ここではサイコロを投げる系の問題に絞って解説しています。

積が○の倍数問題

投げるサイコロが2個の場合

全部で36通りしかありませんので表を書いて１つずつ調べてもよいでしょう。

投げるサイコロが3個以上のとき

(1)　積が偶数
⇔　少なくとも１つは偶数

ですから、全体からすべて奇数になる場合をひけばいいことがわかります。

4個のサイコロがすべて奇数となるのは\( \left( \frac{3}{6} \right)^4=\frac{1}{16} \)

よって求める確率は\( \displaystyle 1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16} \)

（２）　積が10の倍数
⇔　少なくとも１つは偶数が出て、少なくとも１つは５の倍数がでる。

少し複雑です。

A：4個のうち少なくとも1つは偶数
B：4個のうち少なくとも1つは5の倍数とすると

Aが起きる確率は\(\displaystyle \frac{15}{16} \)、Bが起きる確率は\( \displaystyle 1-\left( \frac{5}{6} \right)^4=\frac{671}{1296}\)です。

AでもBでもないのは4個のサイコロがすべて「１」「３」のときであり、その確率は\( \displaystyle \left( \frac{2}{6} \right)^4=\frac{1}{81} \)

求めるのは「AかつB」なのでベン図をかくとわかりやすいです。

AかつBに相当する部分の確率をxとするとここまでに出てきた3つの数字の和は
\( \displaystyle \frac{15}{16} + \frac{671}{1296} + \frac{1}{81}=1+x \)という関係式が成り立ちます。

よって求めるxはx=\( \displaystyle \frac{606}{1296}=\frac{101}{216} \)となります。

（３）　積が４の倍数になるのを正確に考えましょう。

(i)　４個のうち少なくとも１つが「４」のとき
(ii)　(i)ではなく、かつ4個のうち2つ以上「２」「６」が出たとき

こうすれば単純に(i),(ii)の確率を求め、足せば終わりになります。この赤字部分を忘れると再びベン図を描くことになります。

(i)となる確率は（２）Bと同様にして\( \displaystyle \frac{671}{1296} \)

(ii)となる確率を計算する。

・「２」「６」が４個のとき、\( \displaystyle \left( \frac{2}{6} \right)^4=\frac{16}{1296} \)

・「２」「６」が３個のとき、\( \displaystyle _{4}C_{3} \left( \frac{2}{6} \right)^3 \frac{3}{6}=\frac{96}{1296} \)

・「２」「６」が２個のとき、\( \displaystyle _{4}C_{2} \left( \frac{2}{6} \right)^2 \left( \frac{3}{6} \right)^2=\frac{216}{1296} \)

以上より(ii)の確率は
\( \displaystyle \frac{16+96+216}{1296}=\frac{328}{1296}\)

よって求める確率は

\( \displaystyle \frac{328+671}{1296}=\frac{999}{1296}=\frac{37}{48}\)

別解

積が4の倍数になるのは

(i)偶数であるとき。ただし

(ii)「４」が0回，「２」「６」が１回のみ出ている場合は除く。

(i)の確率は\( \frac{15}{16} \)

(ii)の確率は \( \displaystyle _{4}C_{1} \left( \frac{2}{6} \right)\left( \frac{3}{6} \right)^3=\frac{216}{1296}=\frac{1}{6}\)

よって求める確率は

\( \displaystyle \frac{15}{16}-\frac{1}{6}=\frac{37}{48} \)

サイコロの最大値問題

最大値が5ということは、すべてが5以下であり、かつ少なくとも1つは5が出ていないといけません。言い換えれば
すべて5以下。ただし、すべて4以下ではだめ。

ということですからこれを式にしましょう。

となります。

何種類の目が出る？問題

（１）これは意外と勘違いしやすいです。全事象は\( 6^4=1296 \)通り。条件を満たすのは全部１、全部２、全部３、・・・全部６の6通り。よって答えは\( \displaystyle \frac{6}{1296}=\frac{1}{216} \)です。

または次のようにも考えられます。

１個目は何が出てもいい。
2個目は1個目と同じでないといけない(1/6)。3,4個目も1個目と同じでないといけない(1/6)ので

\(\displaystyle 1 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}=\frac{1}{216} \)

（２）

１個目は何がでてもいい。
2個目は1個目と異ならなければならないので確率は5/6
3個目は1,2個目と異ならなければならないので確率は4/6
4個目は1,2,3個目と異ならなければならないので確率は3/6

以上より\( \displaystyle 1 \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{6}=\frac{5}{18} \)

（３）

全事象は1296通り。

その中で3種類の目が出るのは４つのサイコロが「Ａ」「Ａ」「Ｂ」「Ｃ」と出たとき。

Ａに入る数字の決め方は6通り。

ＢＣの決め方は５×４＝２０通り。

４つのサイコロが順に「ＡＡＢＣ」「ＡＢＡＣ」「ＡＢＣＡ」「ＢＡＡＣ」「ＢＡＣＡ」「ＢＣＡＡ」と出る場合があるので６通り。

よって3種類の目が出るのは6×20×6=720通り

以上より求める確率は\( \displaystyle \frac{720}{1296}=\frac{5}{9} \)