3次方程式の解の個数問題

上野竜生です。3次方程式の解の個数に関する問題の解法を紹介します。

基本的なこと

実数係数3次方程式の相異なる実数解は最低1つ。最大3つあり，2つになるのは重解になる特殊ケースのみ。

つまり

実数解が1つ　・・・　「実数解１つ＋共役複素数2つ」or「3重解が1つ」

実数解が2つ　・・・　「2重解1つ＋その他の実数解が1つ」

実数解が3つ　・・・　実数解3つ（そのまんま）

ということになります。

例題１　定数分離できるパターン

定数分離して求めます。つまり，y=x³-6x²+9xのグラフとy=aの交点の数が異なる実数解の個数になります。（2つの式を連立させれば同値であることがすぐわかります。）

この発想は便利ですしよく使うので覚えましょう。

答え(1)f(x)=x³-6x²+9xとおき，y=f(x)と直線y=aの交点の数を調べる。
f'(x)=3x²-12x+9=3(x-1)(x-3)より増減表は下の通り。
\( \begin{array}{c|ccccc} x & \cdots & 1 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f’(x) & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & 4 & \searrow & 0 & \nearrow \end{array}\)
よってy=f(x)のグラフは下の通り。

これとy=aの交点の数を求めると，答えは
a<0 , a>4のとき1個
a=0,4のとき2個
0<a<4のとき3個。

(2)　0<a<4のときの実数解の範囲ですが，これもy=f(x)とy=aの交点のx座標がα,β,γとなります。グラフからβは極大値をとるxと極小値をとるxの間しか動けません。α,γについてはもう少し計算が必要です。図を参考に理解してみましょう。

答え(2)　y=f(x)とy=aの交点のx座標がα,β,γである。（α,β,γ)
y=f(x)とy=f(1)(=4)の交点のx座標を求める。
x³-6x²+9x=4
(x-1)²(x-4)よりx=1,4
同様にしてy=f(x)とy=f(3)=0の交点のx座標はx=0,3
よってグラフは下の通りになり

0<α<1　，　1<β<3　,　3<γ<4

例題２：　定数分離できないパターン

一般には割と大変なのですが3次関数に限定すれば意外と簡単に解けます。3次関数のグラフをイメージしてみてください。

極大極小が存在しないとき単調増加/単調減少なのでx軸とは1回しか交わらないため実数解は1つです。

極大極小が存在しても，極大値と極小値が同符号であればやはりx軸とは1回しか交わりません。

極大極小が存在して，かつ極大値と極小値が異符号であればx軸とは3回交わります。

（極大値や極小値が0ならば重解を持ち2回交わります）

これらをまとめると次のようになります。

丸暗記ではなくグラフをイメージすることが重要です。さらにこのやり方だとα,βの大小は関係ないということも重要です。

今回の問題，特に定数分離の考え方は非常に重要です。練習しましょう。