大学合格してから大学に行くまでにやっておきたい数学

上野竜生です。大学合格した方おめでとうございます。4月から大学の授業が始まると思いますがそれまで宿を探したりサークル選びなどはあるものの,勉強面では暇になると思います。このまま何もしなくてもいいと言えばいいのですが,今まで勉強してきて急に何もなくなるのもちょっと・・・でも何をしたらいいのかという人のためにこの時期学んでおきたい内容を紹介します。

大学に合格してからやりたい数学

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その1 数IIIレベルの微積

受験で数IIIまで使った人は特に不要ですが受験が数IIや数Bまでしか範囲ではなかった人(文系含む)は大学で数IIIレベルの微積が出ると思ってください。なので今のうちに学習しておくとよいです。特に大学の教科書に比べると高校の参考書のほうが圧倒的に丁寧でわかりやすく,安いと思います。ちなみに計算ができればOKです。(入試のようにy=f(x)の接線とy=f(x)で囲まれる部分をy軸を軸に1回転させてできる立体の体積を・・・みたいな複雑なことは不要。単純に∫logxdxや極値を求めるなどの計算ができればOK)

数IIIでも二次曲線と複素数平面,極方程式はとりあえず無視してもいいでしょう(使うところが限られているので大学の予習としてやるには非効率)

その2 数IIIレベルの統計

こちらは統計を入試で使った人は少ないと思いますが,確率が入試の範囲だった人が多いと思うので実質的に半分ぐらいは学習済みです。後半に目を通しておきましょう。二項分布・正規分布についての知識はもっておくと有利です。また余力があれば検定という分野もやっておくとさらに強くなります。

ここまでは高校の教科書や参考書で対応できますがここからは完全に大学範囲です。

その3 イプシロンデルタ論法

詳しくはイプシロンデルタ論法の記事にしましたのでこれを読んでください。理解するのに時間がかかると思います。

極限の定義が「~に近づく」というあいまいな表現からもっと厳密に再定義されます。その定義がイプシロンデルタ論法なのですが,これが理解しにくくしかも序盤で出るためここで挫折しがちです。今時間があるうちに乗り越えておくと大学に入ってから楽しいサークルに時間を使えます。

なお定義が厳密になっただけで計算結果は今までの高校でやったことと一致します。具体的な極限値の計算問題では高校方式で大丈夫ですし,極限の定義が終われば普通の微分積分になります。

偏微分や重積分などは比較的後半であることと理解しやすいと思うのであえて今やる必要はないでしょう。

その4 行列の計算

行列とは数字を長方形状に並べたものです。行列A,Bが与えられたとき

A+B , A-Bの計算がどのときに定義出来てどう計算するのか(こちらは簡単)

積ABの計算がどのときに定義出来てどう計算するのか(こちらが複雑)

さらに一般にはAB≠BAであることを予備知識としてもっておきたいところです。

とりあえず積ABの計算までできるようにしておきましょう。

参考書

大学に入ると先生指定の教科書を使うことが多いです。それがわかっているならその本を買うのが1番いいですが,たまに教科書を使わない先生もいます。また教科書が何かわかるまで時間がかかるのではやく予習したい人もいるでしょう。そんな人のために比較的初歩的な微分積分と線形代数の参考書を紹介します。

両方買うのはお金がもったいないという人は片方だけでも先に読み進めると大学の勉強が楽になります。

<片方しか買わない場合,どちらを買うかの基準>
(i) 片方は教科書が指定されているが片方が教科書なしの場合
・あとで教科書を買うつもりなら今買うのは→教科書がないほう
・あとで教科書を買うお金がないなら今買うのは→教科書
<教科書なしではちょっとキツイので何か本をもっておきたいところです>
(ii) 両方教科書有りor両方教科書がわからない場合
・数IIIの微積を学習済み→線形代数
・数IIIの微積がまだ→微分積分
<学べる分量が多いほうにお金をかけるのが得策です>

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