全微分可能とは?

上野竜生です。大学では全微分可能かどうかを問題にすることがよくあります。具体的な問題で見ていきましょう。

全微分可能とは?

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全微分可能の定義

2変数関数z=f(x,y)が(p,q)で全微分可能とは
f(x,y)=f(p,q)+A・(x-p)+B・(y-q)+o(x,y),
\( \displaystyle \lim_{(x,y)\to (p,q)}\frac{o(x,y)}{\sqrt{(x-p)^2+(y-q)^2}}=0 \)
となるA,B,o(x,y)が存在すること。

また全微分可能なときzの全微分

dz = A dx + B dy

のように書く。

※もし全微分可能ならA=fx(p,q) , B=fy(p,q)となります。

例題

次の関数は(0,0)で全微分可能か?
f(x,y)=|xy|
答えf(x,y)=f(0,0)+Ax+By+o(x,y)の形にかけるかを考える。
f(0,0)=0よりAx+By+o(x,y)=|xy|
極限が0になるかを判定するため両辺を\( \sqrt{x^2+y^2}\)でわり,x=rcosθ,y=rsinθとすると\(\displaystyle \lim_{r\to 0} \frac{|r^2 \sin{\theta}\cos{\theta}|}{r}=0 \)となるのでA=0, B=0とすれば全微分可能の定義を満たす。よって全微分可能。

例題
\( \displaystyle f(x,y)=\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \frac{xy(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^a} ((x,y)\neq (0,0)) \\ 0 ((x,y)=(0,0))    \end{array} \right.\end{eqnarray} \)
が原点で全微分可能となるような正の定数aの範囲を求めよ。
答え\( \displaystyle f_x(x,y)=\frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)^a-xy(x^2-y^2)\cdot 2ax(x^2+y^2)^{a-1}}{(x^2+y^2)^{2a}} \\
=\displaystyle \frac{(3x^2y-y^3)(x^2+y^2)-2ax^2y(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^{a+1}}\)
\( \displaystyle f_y(x,y)=\frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)^a-xy(x^2-y^2)\cdot 2ay(x^2+y^2)^{a-1}}{(x^2+y^2)^{2a}}\\
=\displaystyle \frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2)-2axy^2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^{a+1}}\)
より\( f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0 \)もし全微分可能なら
f(x,y)=f(0,0)+fx(0,0)(x-0)+fy(0,0)(y-0)+o(x,y)とかける。つまりo(x,y)=f(x,y)としたとき
\( \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{o(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \)となればよい。x=rcosθ,y=rsinθとすると

\( \displaystyle \lim_{r\to 0} \frac{r^4\sin{\theta}\cos{\theta}(\cos^2{\theta}-\sin^2{\theta})}{r^{2a+1}} \)

となるためこれが0に収束するには分母分子のrの指数に着目して

2a+1<4であれば良く,そのときに限る。

aは正だから\( 0<a<\frac{3}{2} \)

2変数関数の極限は極座標に変換しr→0の極限をとるのが定石です。

最後に全微分に関する命題の主張だけ述べて終わります。

・全微分可能なら連続

・fx,fyが連続ならば全微分可能

とくに2つ目は原点以外の任意の点でも全微分可能であることを示すときには重要です。

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