上野竜生です。線形代数学(1年後期)の定期試験対策の模擬試験を作りました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には模範解答もつけています。

解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題は選択問題にしかありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

空欄1つに2ケタ以上が入るかもしれません。1つの問に複数の空欄がある場合は半角カンマ(,)で区切って入力してください。なお必ず整数値を入力してください(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

問題PDFはこちら

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第1問(50点)

\(A=\begin{pmatrix} 1 & -18 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 6 & 1 \end{pmatrix}\)
とする。

(1) Aの固有多項式は\(x^3- [ア] x^2 + [イ] x – [ウ]\)であり,固有値は[エ],[オ]である。ただしエ<オとする。

(2) 固有値エに対する固有ベクトルは(1,[カ] ,0)と(0,[キ],1)である。また固有値オに対する固有ベクトルは([ク],1,[ケ])である。

(3) \( P=\begin{pmatrix} 1 & 0 & ク \\ カ & キ & 1 \\ 0 & 1 & ケ \end{pmatrix}\)とおく。\(P^{-1}\)を計算せよ。解答は下の文字が入っている部分の成分だけ書けばよい。

\[P^{-1}=\begin{pmatrix} [コ]& [サ] & *\\ *&*&* \\ *&[シ]&[ス] \end{pmatrix}\]

(4) \(P^{-1}AP=D\)とおく。Dを計算せよ。解答は下の文字が入っている部分の成分だけ書けばよい。

\[D=\begin{pmatrix} [セ]& [ソ] & [タ]\\ * & [チ]& *\\ * & * & [ツ] \end{pmatrix} \]

(5) \(A^n\)を計算せよ。解答は下の文字が入っている部分の成分だけ書けばよい。

\[A^n=\begin{pmatrix} *&[テ] – [ト] \cdot [ナ]^n & * \\ * & *& [ニ] \\ * & * & [ヌ] \end{pmatrix} \]

第2問(20点)

(1) aを正の定数とする。\[A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & a & 5 \\ 0 & 5 & 0 & a \\ a & 5 & -1& 2 \\ 0& a& 0& 5\end{pmatrix}\]とする。2がAの固有値になるように定数aを定めるとa=[ネ]であり,そのときAを対角化した行列は

\[ \begin{pmatrix} [ノ] & 0 &0 &0\\0 & [ハ] & 0 &0 \\ 0& 0& [ヒ] & 0 \\ 0 & 0& 0 & [フ] \end{pmatrix}\]

となる。(ただし\(ノ \leq ハ \leq ヒ \leq フ\) )

(2) \[A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & -2 \\ 2 & 0 & a \\ 1 & -1 & 5 \end{pmatrix} \]とする。Aが対角化不可能であるようなaの値はa=[ヘ]またはa=[ホ]である。ただし解答の順序は問わない。

 

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第3問(30点)

\[A= \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \]とする。

(1) Aの固有多項式は\(x^3 – [マ] x^2 + [ミ] x – [ム] \)である。

(2) Aを直交行列Pで対角化すると

\[P^{-1}AP=\begin{pmatrix} [メ] & 0 & 0 \\ 0 & [モ] & 0 \\ 0 & 0 & [ヤ] \end{pmatrix}\]

である。ただし\(メ \leq モ \leq ヤ\)とする。さらにこのときの直交行列Pとその逆行列\(P^{-1}\)も計算せよ。Pと\(P^{-1}\)については下の文字が入った空欄部分のみを以下の選択肢の中から選べばよい。

(注)選択肢はすべて0以上の値である。つまり文字の入った空欄部分が正または0となるように符号を定める必要があります。

\[ P= \begin{pmatrix} [ユ] & [ヨ] & [ラ] \\ [リ] & [ル] & * \\ * & * & * \end{pmatrix} , P^{-1}= \begin{pmatrix} [レ] & [ロ] & [ワ] \\ [ヲ] & [ン] & * \\ * & * & * \end{pmatrix}\]

①1   ② 2   ③ 0
④ \(\frac{1}{2}\)   ⑤ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)   ⑥ \( \sqrt{2}\)
⑦ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)   ⑧ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)   ⑨ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)

(問題は以上で終わりである。)

 

解答用紙

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