大学の線形代数学 試験対策(模擬試験)

上野竜生です。普段は高校生向けの数学を扱っていることが多いですが大学生の単位を取る定期試験対策として微分積分学(おそらく1年前期)に頻出の問題を集めてみました。マークシート式で答えるタイプで自動採点もしてくれるので試験対策にぜひ役立ててください。挑戦してくれた人には解答・解説付きです

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解答上の注意

・紙と鉛筆を持って本格的に解くことを想定しています。

・自動採点に入力する際に操作ミスで入力途中のデータが消えると萎えるので解答は紙にメモしながら解き、最後にまとめて入力することをオススメします。

・いろんな大学の試験問題などを分析してある程度共通して出題される頻出問題を取り上げています。教授によっては全然違う形で出題されることもあります。

・試験1日前に解くことも想定して一瞬で採点できるマークシート式の問題にしています。記述問題はありませんが導出過程や証明も大事にしましょう。

解答用紙の記入の注意

センター試験とは異なり必ずしもマス目の数と桁数が一致してるとは限りません。ただし空欄には必ず整数値を入力してください。(下の例2参照)

例1: [ア]\(\sqrt{[イ]}\)に\( 12\sqrt{2} \)と解答する場合 [ア,イ]の解答欄に12,2と入力しなさい。

例2: \([ア]x^2+[イ]x+[ウ] \)に\( x^2-x \)と解答する場合[ア,イ,ウ]の解答欄に1,-1,0と入力しなさい。

例3: アに選択肢③を解答する場合[ア]の解答欄に3と入力しなさい。

第1問 連立方程式の解法について(45点)

[A] 問1 次の連立方程式を(なるべく)掃き出し法で解くとx=[ア],y=[イ],z=[ウ]となる。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l}x+2y+z=5 \\ 2x+y-z=1  \\ 3x+4y-2z=-3  \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

[B] 次の連立方程式を考える。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = -2 \\ 2x + 3y+5z = 1 \\ -3x+4z=18 \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

行列\(B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 5 \\ -3 & 0 & 4 \end{pmatrix} \)とする。

問2 逆行列\(B^{-1} \)を計算し、(1,1)(1,2),(1,3)成分(下の空欄エ・オ・カ)を答えなさい。
\(B^{-1}=\begin{pmatrix} [エ] & [オ] & [カ] \\ [ ] & [ ] & [ ] \\ [ ] & [ ] & [ ] \end{pmatrix} \)

問3 [B]の連立方程式のxの値は[キ]である。

[C]
\( C=\begin{pmatrix} 2 & -4 & -1 \\ 1 & -3 & 2 \\ -3 & 5 & 6 \end{pmatrix} , \boldsymbol{x}=\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c  \end{array} \right) \boldsymbol{b}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0  \end{array} \right) \)
とおいたとき連立方程式
\( C\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} \)の解のうちaのみをクラメルの公式で求めたい。

問4 行列式detCの値をサラスの公式で求めるとdetC=[ク]である。

「適切な行列D」の行列式と問4の結果を用いるとクラメルの公式からxの値がわかる。
問5 「適切な行列D」を答えよ。解答は(1,1),(1,2),(1,3)成分(下の空欄ケ・コ・サ)のみでよい。
\( D=\begin{pmatrix} [ケ] & [コ] & [サ] \\ [ ] & [ ] & [ ] \\ [ ] & [ ] & [ ] \end{pmatrix} \)
問6 a=[シ]である。

第2問(25点)

問1 次の行列の行列式(det)は[ス]である。(10点)
\(\begin{pmatrix} 2 & 7 & 1 & 8 \\ 2 & 8 & 1 & 8 \\ 2 & 8 & 4 & 5 \\ 9 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix} \)

問2 次の行列の階数(rank)は[セ]である。 (10点)
\( \begin{pmatrix}  1 & 2 & 0 & 5 & 1 \\ 3 & 0 & 6 & 3 & 9 \\ -2 & 2 & -6 & 2 & -8 \\ 4 & 1 & 7 & 6 & 11 \end{pmatrix}\)

第3問(25点)

[A] 5つのベクトルを
\(\boldsymbol{v}_1=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)  ,  \boldsymbol{v}_2= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right)  ,  \boldsymbol{v}_3= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right)  ,  \boldsymbol{v}_4=\left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \end{array} \right)  ,  \boldsymbol{v}_5=\left( \begin{array}{c} 7 \\ 3 \\ 4 \end{array} \right) \)
と定める。

(1) \( \boldsymbol{v}_1 , \boldsymbol{v}_2 , \boldsymbol{v}_3 \)は線形独立(一次独立)か線形従属(一次従属)か?[ソ]

[ソ]の選択肢
① 線形独立である。  ② 線形従属である。

(2) 次のうち線形従属になるのはどれかすべて選べ。[タ]

[タ]の選択肢
① \( \boldsymbol{v}_1 , \boldsymbol{v}_2 , \boldsymbol{v}_4 \)   ② \( \boldsymbol{v}_1 , \boldsymbol{v}_2 , \boldsymbol{v}_5 \)
③ \( \boldsymbol{v}_1 , \boldsymbol{v}_3 , \boldsymbol{v}_4 \)   ④ \( \boldsymbol{v}_1 , \boldsymbol{v}_3 , \boldsymbol{v}_5 \)
⑤ \( \boldsymbol{v}_2 , \boldsymbol{v}_3 , \boldsymbol{v}_4 \)   ⑥ \( \boldsymbol{v}_2 , \boldsymbol{v}_3 , \boldsymbol{v}_5 \)

[B] 3つのベクトル\(\boldsymbol{a},\boldsymbol{b},\boldsymbol{c}\)が線形独立とする。次の3つのベクトルの線形独立・線形従属の判断として最も適切なものをそれぞれ①~③の中から1つずつ選べ。

(3) \(\boldsymbol{a}, -2\boldsymbol{b} , 3\boldsymbol{c}\) [チ]
(4) \(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} , \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} , \boldsymbol{c}+\boldsymbol{a}\) [ツ]
(5) \(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} , \boldsymbol{b}-\boldsymbol{c} , \boldsymbol{c}-\boldsymbol{a}\) [テ]

【(3)~(5)の選択肢】
① 必ず線形独立になる。
② 線形独立になる場合もあれば線形従属になる場合もある。
③ 必ず線形従属になる。

第4問または第5問のうち1題を選択せよ。

第4問(選択) 固有値・固有ベクトルについて(配点10)

\(\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2\end{pmatrix} \)の固有値のうち小さい方は[ト]であり固有値[ト]に対する固有ベクトルは
\( \left( \begin{array}{c} [ナ] \\ [ニ] \end{array} \right)\)である。ただし[ナ],[ニ]は整数で互いに素になるものを入力せよ。

第4問または第5問のうち1題を選択せよ。

第5問(選択) 行列式の応用計算(配点10)

\( A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\)とする。
(1) \( A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x} \)となる\(\boldsymbol{x} \)は定数kを用いて\(\displaystyle \boldsymbol{x}=k \left( \begin{array}{c} [ヌ] \\ [ネ] \\ [ノ] \end{array} \right)\)である。
ただし[ヌ][ネ][ノ]は整数で互いに素(±1以外に公約数を持たない)ものを入力せよ。

(2) det(xE-A)=0となるようなxの値はx=\( [ハ] , [ヒ]\pm \sqrt{[フ]} \)である。ただしEは単位行列である。

問題は以上です。

解答用紙

解答用紙はgoogleフォームを使用しています。
googleフォームの送信を押すと自動採点されます。

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