上野竜生です。今回は大学数学の中で重積分の初歩を扱います。そこそこ分量があるように見えますが教えなくてもわかりそうなことがほとんどで,気を付けるべき点は順序交換するときの変数部分だけです。

動画

今回の内容は動画でも解説しています。

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重積分のパターン

  1. 累次積分(1変数の積分計算を2回するだけの超基本形)
  2. 積分順序交換(順序交換後のパラメータに注意)
  3. 極座標変換(ヤコビアンrは認めたとしても応用パターンが多い)
  4. 一般の変数変換(ヤコビアンの計算からやる必要がある)

この4パターンをマスターすれば大学1年生の積分計算はできたといってもいいでしょう。ここでは1と2を扱います。テストによくでるのはパターン2と3です。

 

次の例題1はパターン1の例です。基本的には順番に積分すればOKなので解答を読めば普通に理解できると思います。これが基本形なのでまずは基本の型を見ておきましょう。

例題1

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy dxdy  $$
\(\displaystyle \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy dxdy  =\int_0^1 \left( \int_0^2 xy dx\right) dy \)です。xで積分するときはyはただの定数と思って計算してOKです。特にやり方を教えなくても普通に下のような正解が導けるでしょう。

答え$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy dxdy \\= \int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2}x^2 y \right]_{x=0}^{x=2} dy \\= \int_{0}^{1} 2y dy\\=[ y^2 ]_{0}^{1}=1 $$

重積分の書き方はいろいろある!

累次積分例題1

例題1は上の1-Aの書き方で出題していますが,領域Dを指定して1-Bのような書き方で出題されることもあります。さらに積分の順序を変えてyから積分して1-Cのようにしても同じです。つまり1-Aから1-Cはすべて同じ意味の積分で,もちろん結果は一致します。念のために1-Cを計算してみます。

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} xy dxdy =\int_{0}^{2} \int_{0}^{1} xy dydx $$ $$=
\int_{0}^{2} \left[ \frac{1}{2}xy^2 \right]_{y=0}^{y=1} dx = \int_{0}^{2} \frac{1}{2}x dx=1 $$

 

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例題2

$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} xy dxdy $$

答え$$ \int_{0}^{1} \int_{0}^{y} xy dxdy = \int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2}x^2 y \right]_{x=0}^{x=y} dy $$ $$= \int_{0}^{1} \frac{1}{2}y^3 dy=\left[ \frac{1}{8}y^4 \right]_{0}^{1}=\frac{1}{8} $$

順序交換に注意

例題1と同様に積分領域を指定して書くやり方もあります。以下の画像をご覧ください。2-Bは積分区間しかかいていませんが正確には
\(\displaystyle \iint_D xy dx dy  D=\{ (x,y)| 0\leq x \leq y , 0\leq y \leq 1 \} \)
のことです。そして重要なのは2-Cの順序交換です。例題1と同様にしてインテグラルをひっくりかえして
\(\displaystyle \int_0^y \int_0^1 xy dy dx \)
とするだけではありません。

累次積分 例題2

なぜこのようになるのかというと積分区間は0≦x≦yかつ0≦y≦1,つまり0≦x≦y≦1です。xからみるとまず0→yで積分し,次にyを0→1で積分してますが,順序を交換したことによってyからみるとまずx→1で積分し,次にxで0→1で積分すれば同じ領域で積分したことになります。この対応を間違わないようにすることが大切です。図か式を書いて同じ領域になるように範囲を決める必要があります。

念のため2-Cも計算して結果が同じになることを確かめてみます。

$$\begin{eqnarray}
& &\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} xy dxdy =\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} xy dydx\\
&=&
\int_{0}^{1} \left[ \frac{1}{2}x y^2 \right]_{y=x}^{y=1} dx  \\
&=& \int_{0}^{1} \frac{1}{2}(x – x^3) dx=\left[ \frac{1}{4}x^2 – \frac{1}{8}x^4 \right]_{0}^{1}=\frac{1}{8}
\end{eqnarray} $$

 

例題3

\( \displaystyle \int_0^2 \int_y^2 \sin{(x^2)} dx dy \)
普通にxから積分しようとしても最初の積分ができずに詰みます。この問題は順序交換が必須です。
累次積分例題3

答え\[ \displaystyle \int_0^2 \int_y^2 \sin{(x^2)} dx dy \\ =\displaystyle \int_0^2 \int_0^x \sin{(x^2)} dy dx \\ =\displaystyle \int_0^2 [y\sin{(x^2)}]_0^x dx \\ =\displaystyle \int_0^2 x\sin{(x^2)}dx \\ =\displaystyle \left[ -\frac{1}{2}\cos{(x^2)} \right]_0^2 \\ =\displaystyle \frac{1-\cos{4}}{2} \]

順序交換をすることで積分区間にあったxが被積分関数に入ってきたので置換積分ができる形になりました。このように,順序交換をさせないと計算できない問題も作れるので順序交換は大学数学ではよく使うテクニックになり,テストによく出てきます。領域の対応は少し練習しないとできないと思うのでいろいろな問題を解いて慣れておきましょう。

 

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