数検1級の積分(複素積分)

上野竜生です。数学検定1級で複素積分を使うことはほぼないと思いますができたほうが早いときもありますので少し説明しておきます。

数検1級の積分 複素積分

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複素積分の2パターン

パターン1:\(z=Re^{i\theta} \)とおいて半円で積分(実際はこの部分の計算は省略しますが)
パターン2:\( z=e^{ix} \)とおいて単位円で積分

理論的には1周して原点の周りを避けるように積分したり,扇型だったり長方形だったり・・・といろいろできますがそもそも数検1級における複素積分の重要性は高くないのでこの2パターンもあれば十分でしょう。なお大学生用には別の記事で紹介します。

パターン1の例

例題 \(\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{1+x^2} \)を計算せよ

このようにー∞から∞までの積分で,分数になってるときに使います。

この問題の解き方は次の通りです。
<1> 分母=0となる点を求める。基本的に虚部が正のものだけで良い。
<2> その点での留数を計算する。
<3> 留数定理で積分を計算。
なお大学生で習う複素積分ではこの解法では不十分です。いろいろ端折っているところがありますので注意しましょう。

今の例題でやってみます。

<1>: 分母=0を解くとx=i,-i 特に虚部が正のものはi

<2>: 点αにおける関数fの留数Res(f,i)は次のように計算できます。

$$ Res(f,i)=\lim_{z \to \alpha} (z-\alpha)f(z)  $$

この例題では\( \lim_{z \to i} (z-i)\cdot \frac{1}{(z+i)(z-i)}=\frac{1}{2i} \)

となります。

<3> 求める複素積分は次のようにあらわされます。

\( 2\pi i \times \)(すべての留数の和)

よって\( 2\pi i \frac{1}{2i}=\pi \)となります。

この方法について端折っている点を説明します。
・上半平面で半円を描くように積分しています。
複素積分積分経路
・1位の極(手順<1>で求めた解が重解じゃない)でないと留数は今の式で表されません。
・正確には半径Rの半円(円周部分)での積分がR→∞のとき0に収束することを示す必要がありますが,試験問題として出ている時点でそれは成立すると仮定しています。(ちゃんと示すと下の「?」ボックス内のような感じになります)
・理論的には上半分の積分ではダメで,下半分の積分にしないといけない問題も作れます。ただし短い試験時間でそこまで判定するのは困難なのでとりあえず上半分と信じて解いているわけです。
正確な記述は後日付録で行います。
R→∞のとき0になる部分をちゃんと示すと次のような感じになります。
この経路上では|x|=Rが成り立つ。よって
\( \displaystyle \left| \int_{半円周上} \frac{dx}{x^2+1} \right| \leq \int_{半円周上} \left| \frac{1}{x^2+1} \right| dx \leq \int_{半円周上} \frac{1}{|x|^2-1}dx\\ \displaystyle=\int_{0}^{\pi} \frac{dx}{R^2-1} = \frac{\pi}{R^2-1} \to 0 ( R \to \infty) \)

パターン2の例

主にsinx,cosxからなり,積分区間が0から2πまでのときに使えます。0からπなどでもできます。(最初<手順1>をz=e^(2ix)にすれば良い)
<手順1> \( z=e^{ix}\)とおきます。つまり,\(\displaystyle \sin{x}=\frac{z-\frac{1}{z}}{2i} , \cos{x}=\frac{z+\frac{1}{z}}{2} \)を代入します。dz=izdxに注意です。
<手順2> 分母=0となる点を求めます。ただし絶対値が1未満の複素数のみを求めます。
<手順3> 留数を計算します。計算式は上と同様です。
<手順4> 求める積分はパターン1と同じ式で計算できます。
例題2: 次の積分を計算せよ
$$ \int_{0}^{2\pi} \frac{dx}{2-\cos{x}} $$
 <手順1>より次の積分を計算することになります
$$ \int_{|z|=1} \frac{1}{2-\frac{z+\frac{1}{z}}{2}} \cdot \frac{dz}{iz} $$
 積分区間は単位円周上です。
複素積分積分経路その2
少し計算すると次のようになります。
$$ \int_{|z|=1} \frac{2dz}{(4z-z^2-1)i}=\int_{|z|=1} \frac{2idz}{z^2-4z+1} $$
<手順2>分母=0を解くと\( z=2±\sqrt{3} \)で,絶対値が1より小さいのは\(2-\sqrt{3} \)です。
<手順3>2-√3の留数を計算します。
\(\displaystyle \begin{eqnarray}
& &\lim_{z \to 2-\sqrt{3}} (z-(2-\sqrt{3}))\frac{2i}{(z-(2-\sqrt{3}))(z-(2+\sqrt{3}))} \\
&=&\frac{2i}{(2-\sqrt{3})-(2+\sqrt{3})}=\frac{2i}{-2\sqrt{3}}=-\frac{i}{\sqrt{3}}\end{eqnarray}\)
<手順4>よって求める積分は\(\displaystyle  2\pi i \cdot \frac{i}{-\sqrt{3}} = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \)となります。
原理まで勉強すると大変なので計算だけできるようにしましょう。

参考書

複素積分の参考書はやはりコレでしょう。上側のほうが複素積分について詳しいですが少し古く,入手が難しいかもしれません。下側は前回の記事でも紹介した本なので数検1級狙いならこちらで代用して大丈夫でしょう。

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