グラムシュミットの直交化法｜数学の偏差値を上げて合格を目指す

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上野竜生です。n本のベクトルが与えられたときそれらを正規直交化する方法（グラムシュミットの直交化法）を解説します。

$シュミットの直交化$

正規直交化の方法

n本のベクトルでもできますが，計算量の都合でテストやレポートには普通n=3のときしかでません。n≧4でも全く同様なのでn=3とします。

n(=3)個のベクトル$ \vec{a_1},\vec{a_2} , \vec{a_3} $が与えられたとき，次のステップで$ \vec{c_1},\vec{c_2},\vec{c_3} $を作ることをシュミットの直交化という。
(1)　$ \vec{b_1}=\vec{a_1}$
$\displaystyle \vec{c_1}=\frac{\vec{b_1}}{|\vec{b_1}|}$
(2)　$ \vec{b_2}=\vec{a_2}-(\vec{a_2}\cdot \vec{c_1})\vec{c_1}$
$\displaystyle \vec{c_2}=\frac{\vec{b_2}}{|\vec{b_2}|}$
(3)　$ \vec{b_3}=\vec{a_3}-(\vec{a_3}\cdot \vec{c_1})\vec{c_1}-(\vec{a_3}\cdot \vec{c_2})\vec{c_2}$
$\displaystyle \vec{c_3}=\frac{\vec{b_3}}{|\vec{b_3}|}$

証明

n=3のときに正しいことを示せたらn≧4のときでも同様なのでn=3を示す。

正規直交化であることを示すには
$ |\vec{c_1}|=1 , |\vec{c_2}|=1 , |\vec{c_3}|=1, \vec{c_1}\cdot \vec{c_2}=0 , \vec{c_1}\cdot \vec{c_3}=0 , \vec{c_2}\cdot \vec{c_3}=0 $
を示せば良い。

最初の3つは明らか（最後に$ \vec{b}$の大きさで割ってるので$\vec{c}$の大きさは1）

$ \vec{c_1}\cdot \vec{c_2} \\ \displaystyle= \frac{\vec{c_1}\cdot \vec{b_2}}{|\vec{b_2}|}\\
=\displaystyle \frac{\vec{c_1}\cdot \vec{a_2}-(\vec{a_2}\cdot \vec{c_1})\vec{c_1}\cdot \vec{c_1}}{|\vec{b_2}|}\\
=0 (∵\vec{c_1}\cdot \vec{c_1}=1)$

$ \vec{c_1}\cdot \vec{c_3}=0$も同様。

$ \vec{c_2}\cdot \vec{c_3}\\ \displaystyle =\frac{\vec{c_2}\cdot \vec{b_3}}{|\vec{b_3}|} \\
=\displaystyle \frac{\vec{c_2}\cdot \vec{a_3}-(\vec{a_3}\cdot \vec{c_1})\vec{c_2}\cdot \vec{c_1}-(\vec{a_3}\cdot \vec{c_2})\vec{c_2} \cdot \vec{c_2}}{|\vec{b_3}|}\\
=\displaystyle \frac{\vec{c_2}\cdot \vec{a_3} -0-\vec{a_3}\cdot \vec{c_2}}{|\vec{b_3}|}\\=0 (∵\vec{c_2}\cdot \vec{c_1}=0 , \vec{c_2}\cdot \vec{c_2}=1 )$

例題

次のベクトルをシュミットの直交化によって直交化せよ。
(1,0,1),(0,1,2),(3,2,1)

答え$ \vec{a_1}=(1,0,1), \vec{a_2}=(0,1,2), \vec{a_3}=(3,2,1)$とする。
$ |\vec{a_1}|=\sqrt{2} $より$ \displaystyle \vec{c_1}=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1) $
$ \vec{b_2}=\vec{a_2}-(\vec{a_2}\cdot \vec{c_1})\vec{c_1}\\
=(0,1,2)-\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)=(-1,1,1) $
$ |\vec{b_2}|=\sqrt{3}$より$ \vec{c_2}=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1) $
$ \vec{b_3}=\vec{a_3}-(\vec{a_3}\cdot \vec{c_1})\vec{c_1}-(\vec{a_3}\cdot \vec{c_2})\vec{c_2} \\
=(3,2,1)-2\sqrt{2}\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1)-0\vec{c_2}\\=(1,2,-1) $
$ |\vec{b_3}|=\sqrt{6} $より$ \vec{c_3}=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1) $
以上より答えは
$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1), \frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1), \frac{1}{\sqrt{6}}(1,2,-1) $

実係数1次以下の多項式の全体からなるベクトル空間の2つの元p(x),q(x)がある。p(x)とq(x)の内積を次のように定めるとき1,x+2からシュミットの直交化によって正規直交基底を作れ。
$\displaystyle p(x)\cdot q(x)=\int_{-1}^1 p(x)q(x) dx $

ベクトル$\vec{v}$の大きさは$ |\vec{v}|=\sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}$であることに注意します。（つまりベクトルの大きさを求めるのにも積分が必要）

答え(1)　1を正規化する。（なおこの解答で$ \cdot $はかけ算ではなく上で定義された内積なので注意）
$ 1\cdot 1=\int_{-1}^1 1 dx =2 $
より$ |1|=\sqrt{2} $なので1を正規化すると$ \frac{1}{\sqrt{2}} $
(2)　x+2を直交化する。
$b_2(x)= (x+2)-((x+2)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}})\frac{1}{\sqrt{2}}$を計算する。
$\displaystyle (x+2)\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\int_{-1}^1 \frac{x+2}{\sqrt{2}}dx=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2} $より
$b_2(x)=(x+2)-2=x $
xを正規化する。
$\displaystyle (x\cdot x)=\int_{-1}^1 x^2 dx =\frac{2}{3}$より
$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{\frac{2}{3}}}=\frac{\sqrt{6}}{2}x $
以上より答えは$ \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{6}}{2}x$

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