1階常微分方程式の解法

上野竜生です。数検1級や大学での学習では微分方程式を扱うこともあります。ここでは1階常微分方程式の解法を扱います。すべてy=(xの式)とします。1階なのでy’までしか登場しません。

1階常微分方程式の解法

スポンサーリンク

変数分離形(基本)

y’=f(x)g(y)の形は変形すると
\(\displaystyle \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx \)となるので積分すればよい。解は
\( \displaystyle \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx +C \)(Cは定数)
例題:次の微分方程式を解け
y’=2xy+y

答えy’=(2x+1)yより変数分離できる。y=0のとき微分方程式を満たす。y≠0のとき両辺をyで割って

\( \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=2x+1 \)
\( \int \frac{dy}{y}=\int (2x+1) dx \)

\(\log{|y|}=x^2+x+C\) (Cは定数)

よって\( |y|=e^{x^2+x+C}\)

\(y=Ae^{x^2+x}\) (A≠0)

y=0もあわせるとA=0も含めて\( y=Ae^{x^2+x} \)(Aは任意定数)

もしlog|y|の絶対値を忘れるとA=eCよりA>0になります。絶対値があればA=±eCとなりA≠0のすべてのAをとれます。

割とよく出る面白いアイデアの形(線形)

y’=p(x)y+q(x)の解を求める。
p(x)の原始関数の1つ(不定積分)をP(x)とする。
両辺にe-P(x)をかけるとy’e-P(x)-e-P(x)p(x)y=q(x)e-P(x)
左辺は{ye-P(x)}’に等しいからあとは右辺を積分すれば良い。
例題:次の微分方程式を解け
y’+(sinx)y=3sinx

答え両辺にe-cosxをかける

y’e-cosx+(sinx)e-cosxy=3sinxe-cosx

{e-cosxy}’=3sinxe-cosx

e-cosxy=3e-cosx+C (右辺を積分しただけ。Cは積分定数)
y=3+Cecosx

このレベルは自分では思いつきにくく,勉強してきたかどうかを見るのにちょうど良いレベルです。

同次形

\( \displaystyle y’=f\left( \frac{y}{x} \right) \)の形
u=y/xとおく。\( u’=\frac{y’}{x}-\frac{y}{x^2} \)より\(y’=xu’+\frac{y}{x}=xu’+u\)
y’=xu’+u=f(u)となるのでこれは変数分離形である。

ベルヌーイ形

y’+P(x)y=Q(x)ynの形はu=y1-nとおく。
u’=(1-n)y-ny’よりもとの微分方程式に(1-n)y-nをかけると
u’+(1-n)uP(x)=(1-n)Q(x)となりこれは2番目に紹介した形(線形)になっている。

リッカチの形

y’=a(x)+b(x)y+c(x)y2の形は1つの解y=y1がわかっている場合,u=y-y1とおく。
u’+y1‘=u’+a(x)+b(x)y1+c(x)y12=a(x)+b(x)(u+y1)+c(x)(u+y1)2
u’=b(x)u+c(x)u2+2c(x)uy1={b(x)+2c(x)y1}u+c(x)u2となりベルヌーイ形になる。

このタイプは1つの解がわかっていないと解けません。
例題:微分方程式\( y’=9x+\frac{y}{x}-\frac{y^2}{x}\)について
(1)この微分方程式を満たす1次関数を求めよ。
(2)この微分方程式の一般解を求めよ。

答え(1)y=ax+bとおき代入します。分数を消すためにx倍しておきます。
\(ax=9x^2+ax+b-a^2x^2-2abx-b^2 \)x2の係数を比較するとa=±3定数項を比較するとb=0,1

xの係数を比較するとab=0 よって(a,b)=(3,0),(-3,0)

以上よりy=±3x

(2)1つの解y=3xが見つかったのでu=y-3xとおく。

\(u’+3=9x+\frac{u+3x}{x}-\frac{u^2+6ux+9x^2}{x} \)

\(u’=-3+9x+\frac{u}{x}+3-\frac{u^2}{x}-6u-9x\\=(\frac{1}{x}-6)u-\frac{u^2}{x}\)

\( u’+(6-\frac{1}{x})u=-\frac{1}{x}u^2 \)となりベルヌーイ形になる。

ここから先はベルヌーイ形からの解法です。なおu=0のときは微分方程式の解なのでu=0つまりy=3xも解です。以下ではu≠0とします。

答え\( u’+(6-\frac{1}{x})u=-\frac{1}{x}u^2 \)

v=u1-2=u-1とおくとv’=-u-2u’となるので両辺に-u-2をかけると

\(v’-(6-\frac{1}{x})v=\frac{1}{x} \)

これは線形タイプ。\( 6-\frac{1}{x} \)の原始関数は6x-logx

両辺にe-(6x-logx)=xe-6xをかけると

\( xe^{-6x}v’-(6-\frac{1}{x})xe^{-6x}v=e^{-6x} \)

左辺=\( \{xe^{-6x}v \}’\)なので

\( xe^{-6x}v=-\frac{1}{6}e^{-6x}+C \)

\( v=-\frac{1}{6x}+\frac{Ce^{6x}}{x} \)

\( u=\frac{1}{v}\)より\( u=\frac{6x}{-1+6Ce^{6x}} \)

y=u+3xより\( y=3x+\frac{6x}{-1+Ae^{6x}} \)

AもCも定数なので6C=Aとおくことで6を消去しています。

6-1/xの原始関数を6x-log|x|とし,両辺に|x|e-6xをかけても同様です。
(-xe-6xをかけてもこの答えと比較して両辺を-1倍しているだけなので全く同じです)

このように微分方程式は問題文が1行のわりに解くのは大変です。自分の研究分野に合わせて必要ならば勉強し,不要な形は捨ててもいいかもしれません。

数学はもちろん他の科目も勉強できる「スタディサプリ」なら人気講師の授業動画で、塾にいかなくてもまるで塾にいったかのような勉強ができます。塾と比較すると格安で、しかも無料おためしもできます。当サイトオススメのサイトです。


スタディサプリについて解説したページはこちら
スポンサーリンク

シェアする

  • このエントリーをはてなブックマークに追加

フォローする