上野竜生です。問99の答えを発表します。

問99

(1)\(\sqrt{99n} \)の小数第1位~第2位が「99」になるような99以下の自然数nを1つ見つけよ。
(2)\(\sqrt{99}n\)の小数第1位~第2位が「99」になるような99以下の自然数nを1つ見つけよ。

 

答え

(1)(98+1)(98-1)=982-1を利用する

\(\sqrt{99 \cdot 97 }=\sqrt{(98+1)(98-1)}=\sqrt{98^2-1} \)
だからこれが97.99より大きければいい。
\( \sqrt{98^2-1}>98-0.01 \)を示す。
両辺正だから(左辺)2-(右辺)2
\(= (98^2-1)-(98^2 – 2\cdot 0.01 \cdot 98 + 0.01^2) \\ =1.96-0.0001-1>0 \)
よって\( \sqrt{99\cdot 97} \)は97.99以上98未満だから条件を満たす。
∴n=97

ちなみにプログラミングで確認したところn=80も別解として存在します。
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(2)\( \sqrt{99} \)≒10であることを利用する。

\( a=10-\sqrt{99} \)とする。このとき0<a<0.1を示す。左側は明らか。
右側を示す。つまり
\( 9.9 < \sqrt{99} \)を示す。(右辺)2-(左辺)2
=99-9.9×9.9
=9.9×10-9.9×9.9
=9.9×0.1>0
なのでaは0.1より小さい。

【この部分の別解】
\(\displaystyle a=\frac{1}{10+\sqrt{99}}<\frac{1}{10}\)

\( a^2= 199-20\sqrt{99} \)でこれは0<a2<0.01を満たす。
よって\( 198.99<20\sqrt{99}<199 \)
となるので条件を満たす。∴n=20

ちなみにプログラミングで確認したところn=40,60も別解です。

 

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