上野竜生です。問98の答えを発表します。

問98

xy平面上の-1≦x≦1,-1≦y≦1の部分に正方形の紙Dが置かれている。紙には単位円x2+y2=1が書かれている。今、紙D上の点(x,y)に対し,点(x,y)と単位円の距離をf(x,y)とおく。ただし点Aと円の距離とは円周上の点の中で最もAとの距離が近いときの2点間の距離である。
(1)f(x,y)を求めよ。
(2)\(\displaystyle \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 f(x,y)dx dy \)を求めよ。

 

答え

(1)中心と(x,y)の距離は\(\sqrt{x^2+y^2} \)なので
\( f(x,y)=|\sqrt{x^2+y^2}-1| \)
(2)0≦θ≦45°の部分を求めて8倍すればよい。極座標変換する。
\(\displaystyle \int_{-1}^1 \int_{-1}^1 f(x,y)dx dy \\ \displaystyle = 8\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^1 (1-r)rdrd\theta + 8\int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_1^{\frac{1}{\cos{\theta}}} (r-1)rdrd\theta \)
(①絶対値を外す場合分け②ヤコビアンr③右側の積分では積分区間はx≦1なのでrcosθ≦1,つまりr≦\(\frac{1}{\cos{\theta}}\)であることを用いた)
これを計算する。1つめの積分は
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_0^1 r-r^2 dr d\theta \\ = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{6} d\theta=\frac{\pi}{24} \)
2つめの積分は
\(\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \int_1^{\frac{1}{\cos{\theta}}} r^2-r dr d\theta = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \left[ \frac{1}{3}r^3-\frac{1}{2}r^2 \right]_{r=1}^{r=\frac{1}{\cos{\theta}}} d\theta \\ \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{3\cos^3{\theta}}-\frac{1}{2\cos^2{\theta}} +\frac{1}{6} d\theta \)

ここで
\(\displaystyle \int \frac{1}{\cos^3{\theta}}d\theta =\frac{\sin{\theta}}{2\cos^2{\theta}}+\frac{1}{4}\log{\left(\frac{1+\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}} \right)} +C \)
を用いると2つめの積分は

\(\displaystyle \left[\frac{\sin{\theta}}{6\cos^2{\theta}}+\frac{1}{12}\log{\left(\frac{1+\sin{\theta}}{1-\sin{\theta}} \right)} -\frac{1}{2}\tan{\theta} + \frac{1}{6}\theta \right]_0^{\frac{\pi}{4}} \\ =\displaystyle \frac{1}{3\sqrt{2}} + \frac{1}{12} \log{\left(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\right)} -\frac{1}{2}+\frac{\pi}{24} \\ =\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{6} + \frac{1}{6} \log{(\sqrt{2}+1)} -\frac{1}{2}+\frac{\pi}{24} \)
よって1つめの積分と2つめの積分を足して8倍したものが答えだから答えは
\(\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3} + \frac{4}{3} \log{(\sqrt{2}+1)} -4+\frac{2\pi}{3} \)

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