上野竜生です。問97の答えを発表します。

問97

O(0,0,0),A(1,2,3),B(4,5,a),C(6,a,b)とする。すべての実数aに対して次の条件を満たすような実数bの範囲を求めよ。
条件:4点O,A,B,Cが同一平面上にはない。

答え

同一平面上の条件を使う

\( \vec{OC}=s\vec{OA}+t\vec{OB} \)となるs,tが存在しなければよい。成分を比較すると
s+4t=6・・・①
2s+5t=a・・・②
3s+at=b・・・③
①②より
\(\displaystyle s=-10+\frac{4a}{3} ,t=4-\frac{a}{3} \)
これを③に代入すると
\(\displaystyle b=-30+4a +4a-\frac{a^2}{3} \)・・・④
④を満たすaが存在しなければよい。aについて整理すると
\( a^2-24a+(3b+90)=0 \)
つまりaについての判別式が0未満であればよいので
\( 144-(3b+90)<0 \)
∴b>18

四面体OABCの体積が0にはならない条件

四面体OABCの体積は
\(\displaystyle \frac{1}{6} \left| \det{} \begin{pmatrix} 1 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & a \\ 3 & a & b \end{pmatrix} \right|
\\ \displaystyle =\frac{1}{6}|5b+12a+12a-90-a^2 -8b|
\\ \displaystyle =\frac{1}{6}|-a^2 +24a -(90+3b)| \\ \displaystyle= \frac{1}{6}|a^2 -24a+(3b+90)| \)
よってどんなaに対しても
\( a^2-24a+(3b+90) \neq 0 \)となればよい。
つまりaについての判別式が0未満であればよいので
\( 144-(3b+90)<0 \)
∴b>18

体積の別解<外積を使う>

\(\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 4 \\ 5 \\ a \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} 2a-15 \\ 12-a \\ -3 \end{array} \right) \)
なので体積は
\(\displaystyle \frac16 \left| \left( \begin{array}{c} 2a-15 \\ 12-a \\ -3 \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{c} 6 \\ a \\ b \end{array} \right) \right| \\ = \displaystyle \frac{1}{6} |6(2a-15)+a(12-a)-3b| \)
以下同じ。

 

 

 

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