上野竜生です。問96の答えを発表します。

問96

sinxのテイラー展開は以下の通りである。
\(\displaystyle \sin{x}=x-\frac{1}{6}x^3+\frac{1}{120}x^5+ \cdots + \frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots \)
これを用いて\(\sin^3{x} \)のテイラー展開を求めよ。

パソコンやスマホだと式が書きにくいと思うので解答は
\( \sin^3{x}=a_3 x^3+ a_4 x^4+ a_5 x^5+ \cdots \)
と表した時の係数an(n≧3)を答えれば良いです。

 

答え

\(\sin{x}=b_1 x+ b_2 x^2+ b_3 x^3+\cdots \)
とおくとnが偶数のとき\(b_{2n}=0 \)
nが奇数のとき\(\displaystyle b_{2n-1}=\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!} \)

3倍角の公式より
\(\sin{3x}=3\sin{x}-4\sin^3{x} \)
\(\displaystyle \sin^3{x}=\frac{3}{4}\sin{x} -\frac{1}{4}\sin{3x} \)
\(\sin{3x}=b_1 (3x)+ b_2 (3x)^2 + b_3 (3x)^3 +\cdots \\ = (3b_1) x+ (9b_2)x^2 + (27b_3)x^3+\cdots \)
なので
\(\displaystyle a_n= \frac{3}{4} b_n – \frac{1}{4} 3^n b_n \)
となり,nが偶数のとき\(a_{2n}=0\)
nが奇数のとき
\(\displaystyle a_{2n-1}= \frac{3}{4}b_{2n-1} – \frac{1}{4} 3^{2n-1} b_{2n-1} \\ \displaystyle = \frac{9-9^n}{12} \cdot \frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)!} \\ \displaystyle =\frac{(-1)^{n+1} (3-3^{2n-1})}{4(2n-1)!}\)

よってnが奇数のときの答えは
\(\displaystyle a_{2n-1} = \frac{(9-9^n)(-1)^{n+1}}{12(2n-1)!} \)
または
\(\displaystyle a_n= \frac{(-1)^{\frac{n-1}{2}}(3-3^n)}{4\cdot n!} \)

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