上野竜生です。問95の答えを発表します。

問95

f'(x)≠0とする。
\(\displaystyle \frac{f(x)}{f'(x)}=e^x+1 \)
を満たすf(x)を求めよ。
(※最終結果には1つ定数が現れます)

 

答え

 

逆数をとると
\(\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{1}{e^x+1} \)

積分すると

\(\displaystyle \log{|f(x)|}=x-\log{(e^x+1)}+C=\log{\frac{Be^x}{e^x+1}} \)

Cは定数。\(B=e^C\)は正の定数。

よって\(\displaystyle |f(x)|=\frac{Be^x}{e^x+1} \)
\(\displaystyle f(x)=\frac{Ae^x}{e^x+1} \)
Aは0以外の定数。

 

 

 

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