上野竜生です。問93の答えを発表します。

問93

11nの下4ケタが2021になるような自然数nは存在するか。

 

答え

存在すると仮定する。

n=1,2,3のとき11nはそれぞれ
11,121,1331だから下4ケタは2021ではない。

n≧4のとき
11n=(10+1)nとして二項定理を使うと
10n + nC110n-1+・・・+nCn-4104+nCn-3103+nCn-2102+nCn-110+1
ここで下線部(104まで)は10000の倍数だから下4ケタは0000。
下4桁に影響する部分のみを取り出すと
nCn-3103+nCn-2102+nCn-110+1
=nC3103+nC2102+10n+1
下1ケタは常に1である。
十の位はnの一の位に等しいのでこれが2であることから
n=10m+2とおける。
このとき百の位が0になる条件を求める。
nC2・100+10n+1
=100(5m+1)(10m+1)+10(10m+2)+1
=5000m2+1500m+100+100m+20+1
=5000m2+(16m+1)・100+21
百の位は16m+1の一の位に等しい。
しかし16m+1は奇数なので一の位が0にはならない。
よって矛盾。11nの下4ケタが2021になるような自然数は存在しない。

 

 

 

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