上野竜生です。問89の答えを発表します。

問89

\(\displaystyle \sin{(x^2 \pi)}+\sin{((x-1)^2\pi)}+\sin{((x-2)^2\pi)}+\sin{((x-3)^2\pi)}=0 \) (0<x<3)の解は全部で何個あるか?

 

答え

和積の公式\(\displaystyle \sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}} \)を用いる。

\(\displaystyle \sin{(x^2 \pi)}+\sin{((x^2-2x+1)\pi)}+\sin{((x^2-4x+4)\pi)}+\sin{((x^2-6x+9)\pi)} \\ \displaystyle = 2\sin{((x^2-x+\frac{1}{2})\pi)}\cos{((x-\frac{1}{2})\pi)} +2\sin{((x^2-5x+\frac{13}{2})\pi)}\cos{((x-\frac{5}{2})\pi)} \\ \displaystyle =2\cos{((x-\frac{1}{2})\pi)} \{ \sin{((x^2-x+\frac{1}{2})\pi)}+\sin{(x^2-5x+\frac{1}{2})\pi)} \} \\ \displaystyle  =4\cos{((x-\frac{1}{2})\pi)}\sin{((x^2-3x+\frac{1}{2})\pi)}\cos{(2x\pi)}=0\)

 

よって\(\cos{(2x\pi)}=0\)・・・(ア)または\(\displaystyle \cos{((x-\frac{1}{2})\pi)}=0\)・・・(イ)または\( \sin{((x^2-3x+\frac{1}{2})\pi)}=0\)・・・(ウ)

 

(ア)のとき\(\displaystyle x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4},\frac{9}{4},\frac{11}{4}\)の6個。

(イ)のときx=1,2の2個

(ウ)のとき\(\displaystyle (x^2-3x+\frac{1}{2})\pi=n \pi \)(nは整数)

よって\(\displaystyle x^2-3x+(\frac{1}{2}-n)=0\)だから

\(\displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt{4n+7}}{2}\)

0<x<3より\(\displaystyle x=\frac{3\pm \sqrt{4n+7}}{2}(n=-1,0) \)の4個。

以上より12個

 

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