今週の問題 問87 答え

上野竜生です。問87の答えを発表します。

問87

赤・青・黄・白の4つのサイコロを投げて出た目をa,b,c,dとする。
(logab)(logcd)が定義でき、かつ、有理数となる(a,b,c,d)の組は何通りあるか?

答え

前問の結果から
\(\log_{a}{b} \)について
・0以外の有理数になる場合が7通り。
・0になる場合が5通り。
・無理数になる場合が18通り。
・定義域を満たさないのが6通りである。

次の3つに分けて考える。

ア) \(\log_{a}{b},\log_{c}{d} \)が両方有理数のとき
必ず有理数なので12×12=144通り

イ) 片方有理数,片方無理数のとき
有理数=0ならば必ず有理数であるから2×5×18=180通り
有理数≠0ならば必ず無理数である。

ウ) 両方無理数のとき
底の変換公式から
\(\displaystyle \frac{\log{b}}{\log{a}}\cdot \frac{\log{d}}{\log{c}} = \frac{\log{b}}{\log{c}} \cdot \frac{\log{d}}{\log{a}} = \log_{a}d \cdot \log_{c}b \)
\( \log_{a}d , \log_{c}b \)がともに有理数である。
もしどちらか片方でも0なら\(\log_{a}{b},\log_{c}{d} \)が両方無理数とはならないのでどちらも0ではない。
よって7×7=49通り。
このうち,a=b=c=d(=3,5,6)の場合とa,b,c,dがすべて2または4の場合は\(\log_{a}{b},\log_{c}{d} \)が両方無理数とならないので不適。
つまりウは49-3-16=30通り。

以上より144+180+30=354通り。

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