今週の問題 問83 答え

上野竜生です。問83の答えを発表します。

問83

\(1\leq x\leq e^{\pi} \)かつ\( 0\leq y\leq 1\)の領域のうち\(y=\sin{(\log{x})} \)より下側の部分をA、上側の部分をBとする。Aの面積とBの面積はどちらが大きいか?

問83

答え

A+Bの面積は\( (e^{\pi}-1) \cdot (1-0)=e^{\pi}-1 \)なので
Aの面積と\(\displaystyle \frac{e^{\pi}-1}{2} \)の大小を比較すれば良い。
Aの面積は
\(\displaystyle A=\int_1^{e^{\pi}} \sin{(\log{x})} dx \)
\( t=\log{x} \)と置換すると\(\displaystyle t : 0 \to \pi , \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x}=\frac{1}{e^t} \)なので
\(\displaystyle A=\int_0^{\pi} e^t \sin{t}dt \\ \displaystyle = [e^t \sin{t}]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} e^t \cos{t}dt \\ \displaystyle = [-e^t \cos{t}]_0^{\pi} – \int_0^{\pi} e^t \sin{t}dt \\ \displaystyle = e^{\pi}+1 -A \)
よって\(\displaystyle A=\frac{e^{\pi}+1}{2}> \frac{e^{\pi}-1}{2}=\frac{A+B}{2} \)となるからA>B
Aの面積のほうが大きい。

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