今週の問題 問82 答え

上野竜生です。問82の答えを発表します。

問82

図のような正方形の紙AOO’O’’がある。OO’の中点をB, O’O’’の中点をCとする。
問82

この正方形をAB,BC,CAで折ると三角錐OABCができる。
この三角錐のOから平面ABCにおろした垂線の足をHとするとき
\( \vec{OH} \)を\( \vec{OA} ,\vec{OB} , \vec{OC} \)の一次結合で表すと
\( \vec{OH}= [ア]\vec{OA}+[イ]\vec{OB}+ [ウ]\vec{OC} \)である。
[ア・イ・ウ]の値を求めよ。

答え

正方形の一辺を2aとおく。
\( |\vec{OA}|=2a , |\vec{OB}|=a , |\vec{OC}|=a ,\\ \vec{OA}\cdot \vec{OB}=\vec{OB}\cdot \vec{OC} =\vec{OC} \cdot \vec{OA}=0 \)
であることに注意。

Hは平面ABC上にあるからア+イ+ウ=1

\( \vec{OH}\cdot \vec{AB}=0 \)より
\(  ([ア]\vec{OA}+[イ]\vec{OB}+ [ウ]\vec{OC})\cdot (\vec{OB}-\vec{OA}) \\ = [イ]a^2-4[ア]a^2=0 \)

\( \vec{OH}\cdot \vec{AC}=0 \)より
\(  ([ア]\vec{OA}+[イ]\vec{OB}+ [ウ]\vec{OC})\cdot (\vec{OC}-\vec{OA}) \\ = [ウ]a^2-4[ア]a^2=0 \)

よって[イ]=4[ア], [ウ]=4[ア]だから

\(\displaystyle [ア]=\frac{1}{9} , [イ]=\frac{4}{9} , [ウ]=\frac{4}{9} \)

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