今週の問題 問81 答え

上野竜生です。問81の答えを発表します。

問81

\(f(x)=x^3 , g(x)=x^4-6x^2 \) とする。
(t,g(t))からy=f(x)に3本の異なる接線がひけ、かつ(t,f(t))からy=g(x)に4本の異なる接線がひけるようなtの範囲を求めよ。

前回の結果を使ってよい。
前回の結果:
\(f(x)=x^3 , g(x)=x^4-6x^2 \)とする。
(t,g(t))からy=f(x)に3本の異なる接線がひけるようなtの範囲は
\( -\sqrt{6}<t<-2\)または\(\sqrt{6}<t<3 \)

答え

\( g’(x)= 4x^3-12x \)
y=g(x)上の点(s,g(s))からひいた接線の方程式は
\( y-g(s)=g’(s)(x-s) \)
\( y-(s^4- 6s^2) =(4s^3-12s)(x-s) =4xs^3 -12xs -4s^4 +12s^2\)
これが点(t,f(t))を通るから
\( t^3 – s^4+6s^2=4ts^3 -12ts -4s^4+12s^2 \)

\( 3s^4 -4ts^3 -6s^2 +12ts +t^3 =0 \)
この左辺をG(s)とするとG(s)=0が異なる4つの実数解をもつことが必要。
(2重接線を除外することに注意。あとで除外する)

\( G’(s)= 12s^3 -12ts^2 -12s+12t =12(s+1)(s-1)(s-t)=0  \)
∴s=-1,1,t

前半の結果より\( -\sqrt{6}<t<-2 , \sqrt{6}<t<3 \)つまりt>1またはt<-1
\(G(-1)=3+4t-6-12t+t^3=t^3-8t-3 \)
\(G(1)=3-4t-6+12t+t^3 = t^3+8t-3 \)
\(G(t)=3t^4-4t^4-6t^2+12t^2+t^3=-t^4+t^3+6t^2 \)

t>1のとき異なる4つの実数解をもつ条件は
G(-1)<0 かつG(1)>0かつG(t)<0
3個目の条件よりG(t)<0を解くとt<-2またはt>3でありこれは前半の結果の範囲にないので不適。

t<-1のとき異なる4つの実数解をもつ条件は
G(t)<0かつG(-1)>0かつG(1)<0
1個目の条件はt<-2またはt>3なのでこれは前半の条件を満たす。
3個目の条件は\( t^3+8t-3<0 \)
左辺を微分すると\( 3t^2+8 >0 \)なので単調増加でありt=0のとき-3なのでt<0ではすべて条件を満たす。
2個目の条件は\( t^3-8t-3>0 \)
左辺を微分すると\( 3t^2-8 \)なのでt<-2の範囲では単調増加
\(t=-\sqrt{6} \)を代入すると\( -6\sqrt{6}+8\sqrt{6}-3>0 \)なので前半の結果の\( -\sqrt{6}<t<-2\)のとき異なる4つの実数解をもつ。

2重接線を除外する。
\( y=x^4-6x^2 \)の2重接線をy=mx+nとおくと
\( x^4-6x^2-(mx+n)=(x-\alpha)^2(x-\beta)^2  (\alpha>\beta)\)となる。解と係数の関係より
\( 2\alpha+2\beta=0 , \alpha^2+\beta^2+4\alpha\beta=-6 , 2\alpha\beta(\alpha+\beta)=m , \alpha^2\beta^2=-n\)
よって\( \alpha=\sqrt{3},\beta=-\sqrt{3} , m=0, n=-9 \)となり2重接線はy=-9
つまり\( f(t)=t^3=-9 \)を満たす点からは異なる接点は4つあるが二重接線があるので異なる接線は3本しか引けず不適。よって\( t\neq -\sqrt[3]{9} \)

以上より求める範囲は
\( -\sqrt{6} < t< -\sqrt[3]{9} , -\sqrt[3]{9}<t<-2 \)

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