今週の問題 問8 答え

上野竜生です。問8の答えを発表します。

\(f(x)=x^3-3x-1\)とし,\( f(x)=0 \)の解を\( \alpha, \beta , \gamma \)とする。(異なる3つの実数解です。[証明不要])次の条件を満たす2次の多項式\(g(x) \)を求めよ。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} g(\alpha)=\beta \\ g(\beta)=\gamma \\ g(\gamma)=\alpha \end{array} \right.\end{eqnarray} \)

なお,どれを\( \alpha,\beta,\gamma \)にするか決めていない(\(g(\alpha)=\beta\)と\(g(\alpha)=\gamma\)を区別していない)ので答えは2つあるはずです。両方求めてください。

答え

求める多項式を\( g(x)=ax^2+bx+c \)とおく。

解と係数の関係より次が成り立つ。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha+\beta+\gamma=0 \\ \alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=-3 \\ \alpha\beta\gamma=1 \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

ここから次の値が計算できる。

\( \alpha^2+\beta^2+\gamma^2=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)=6 \)

\(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3 \\=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\gamma\alpha)+3\alpha\beta\gamma\\=3\)

\( (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2\\=\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)\)
より\(\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2=9 \)

\( (\alpha+\beta+\gamma)^3\\=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3+6\alpha\beta\gamma\\+3(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^2\gamma+\beta\gamma^2+\gamma^2\alpha+\gamma\alpha^2) \)
より
\(\alpha^2\beta+\alpha\beta^2+\beta^2\gamma+\beta\gamma^2+\gamma^2\alpha+\gamma\alpha^2=-3 \)

これらから次のように計算していく。

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} g(\alpha)=a\alpha^2+b\alpha+c=\beta \\ g(\beta)=a\beta^2+b\beta+c=\gamma \\ g(\gamma)=a\gamma^2+b\gamma+c=\alpha \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

辺々を加えると\( 6a+3c=0 \)①

同様にして

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \alpha g(\alpha)=a\alpha^3+b\alpha^2+c\alpha=\alpha\beta \\ \beta g(\beta)=a\beta^3+b\beta^2+c\beta=\beta\gamma \\ \gamma g(\gamma)=a\gamma^3+b\gamma^2+c\gamma=\gamma\alpha \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

辺々を加えると\( 3a+6b=-3 \)②

②より\( a=-2b-1 \)

①より\( c=-2a=4b+2 \)

最後に次の式を考える。(\(\alpha\beta\gamma=1\)に注意)

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \beta\gamma g(\alpha)=a\alpha+b+c\beta \gamma=\beta^2 \gamma \\ \gamma \alpha g(\beta)=a\beta+b+c\gamma \alpha=\gamma^2 \alpha \\ \alpha\beta g(\gamma)=a\gamma+b+c\alpha\beta=\alpha^2\beta \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

辺々加えると
\(3b-3c=\alpha^2\beta+\beta^2\gamma+\gamma^2\alpha\)③

\(\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} \beta\gamma^2 g(\alpha)=a\alpha\gamma+b\gamma+c\beta\gamma^2=\beta^2\gamma^2 \\ \gamma \alpha^2 g(\beta)=a\beta\alpha+b\alpha+c\gamma \alpha^2=\gamma^2\alpha^2 \\ \alpha\beta^2 g(\gamma)=a\gamma\beta+b\beta+c\alpha\beta^2=\alpha^2\beta^2 \end{array} \right.\end{eqnarray}\)

辺々加えると
\( -3a+c(\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2)=9 \)

整理して
\(3a+9=c(\alpha\beta^2+\beta\gamma^2+\gamma\alpha^2)\)④

③×c+④より
\( 3bc-3c^2+3a+9=-3c \)

これに\(a=-2b-1, c=4b+2\)を代入すると

\(0=bc-c^2+a+3+c\\=b(4b+2)-(4b+2)^2+(-2b-1)+3+(4b+2)\\=4b^2+2b-16b^2-16b-4-2b-1+3+4b+2\\=-12b^2-12b=-12b(b+1) \)

よって\(b=0,-1\)

\(b=0\)のとき\(a=-1,c=2\)より\(g(x)=-x^2+2\)

\(b=-1\)のとき\(a=1,c=-2\)より\(g(x)=x^2-x-2\)

以上より答えは\( g(x)=-x^2+2,x^2-x-2\)

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