今週の問題 問79 答え

上野竜生です。問79の答えを発表します。

問79

a,b,cは正の実数とする。
\(\displaystyle \frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{bc}{b^2+c^2}=\frac{ca}{c^2+a^2} \)
が成立するならばa=b=cであることを証明せよ。

答え

<方針>
a,b,cのうち同じものがいくつあるか
(ア) 3つとも同じ
(イ) 2つが同じで1つが異なる
(ウ) 3つともバラバラ
背理法で示す。(イ),(ウ)で矛盾を示せばよい。

(イ)のとき対称性よりa=b≠cの場合だけ示せば十分
a=bならば\(\displaystyle \frac{ab}{a^2+b^2}=\frac{1}{2} \)
このとき相加相乗平均の関係より
\(\displaystyle \frac{a}{c}+\frac{c}{a} \geq 2 \)
等号成立はa=cのときなのでa≠cでは等号不成立。よって
\(\displaystyle \frac{ac}{a^2+c^2}=\frac{1}{\frac{a}{c}+\frac{c}{a}} \neq \frac{1}{2}= \frac{ab}{a^2+b^2} \)
となるから矛盾。

(ウ)のとき対称性よりa<b<cとしても一般性を失わない。
\(\displaystyle \frac{ab}{a^2+b^2}-\frac{ca}{c^2+a^2}=0 \)なので左辺を計算すると
\(\displaystyle \frac{a(bc^2+ba^2-ca^2-cb^2)}{(a^2+b^2)(a^2+c^2)} \)
a>0より\( bc^2+ba^2-ca^2-cb^2=0 \)
因数分解すると\( (b-c)a^2-bc(b-c)=(b-c)(a^2-bc)=0 \)
b≠cと仮定しているので\( a^2=bc \)
しかし0<a<b<cのとき\( a^2<bc \)なので矛盾。

以上より(ア)となりa=b=cである。

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