今週の問題 問77 答え

上野竜生です。問77の答えを発表します。

問77

\(\displaystyle f(x)=x^2+2x+4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} \)とおく。
x≠0の範囲でのf(x)の最小値を求めよ。

答え

\( \displaystyle t=x+\frac{1}{x} \)とおく。
x>0のとき相加相乗平均の関係よりt≧2
x<0のとき相加相乗平均の関係よりt≦-2を動く。(-x>0より\( (-x)+\frac{1}{(-x)} \geq 2 \) )
\(\displaystyle t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2} \)だからf(x)をtの式で表すと
\( t^2+2t+2 = (t+1)^2+1 \)
t≦-2,t≧2の範囲ではt=-2のとき最小値2
(t=-2よりx=-1のとき)

別解
\(\displaystyle f'(x)=2x+2-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}=\frac{2(x^4+x^3-x-1)}{x^3} \)
f'(x)=0を解く。
\(x^4+x^3-x-1=x^3(x+1)-(x+1)\\=(x^3-1)(x+1)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1) \)
よりx=1,-1
増減表は下の通り

\(\begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’(x) & – & 0 & + & & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & f(-1) & \nearrow & &  \searrow & f(1) & \nearrow \end{array}\)

f(1)=10, f(-1)=2より最小値はx=-1のときの2

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