上野竜生です。問77の答えを発表します。

問77

\(\displaystyle f(x)=x^2+2x+4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2} \)とおく。
x≠0の範囲でのf(x)の最小値を求めよ。

 

答え

\( \displaystyle t=x+\frac{1}{x} \)とおく。
x>0のとき相加相乗平均の関係よりt≧2
x<0のとき相加相乗平均の関係よりt≦-2を動く。(-x>0より\( (-x)+\frac{1}{(-x)} \geq 2 \) )
\(\displaystyle t^2=x^2+2+\frac{1}{x^2} \)だからf(x)をtの式で表すと
\( t^2+2t+2 = (t+1)^2+1 \)
t≦-2,t≧2の範囲ではt=-2のとき最小値2
(t=-2よりx=-1のとき)

別解
\(\displaystyle f'(x)=2x+2-\frac{2}{x^2}-\frac{2}{x^3}=\frac{2(x^4+x^3-x-1)}{x^3} \)
f'(x)=0を解く。
\(x^4+x^3-x-1=x^3(x+1)-(x+1)\\=(x^3-1)(x+1)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1) \)
よりx=1,-1
増減表は下の通り

\(\begin{array}{c|ccccccc} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’(x) & – & 0 & + & & – & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & f(-1) & \nearrow & &  \searrow & f(1) & \nearrow \end{array}\)

f(1)=10, f(-1)=2より最小値はx=-1のときの2

 

 

 

解説を読んで数学がわかった「つもり」になりましたか?数学は読んでいるうちはわかったつもりになりますが演習をこなさないと実力になりません。そのためには問題集で問題を解く練習も必要です。オススメの参考書を厳選しました

<高校数学> <大学数学> さらにオススメの塾、特にオンラインの塾についてまとめてみました。自分一人だけでは自信のない人はこちらも参考にすると成績が上がります。