今週の問題 問76 答え

上野竜生です。問76の答えを発表します。

問76

\( \cos{\theta} \neq 0\)とする。
\(\vec{a}=(\sin{\theta} , \cos{\theta} , \tan{\theta} ) \)とおく。
(1) \( |\vec{a}|^2 \)を\(\cos{\theta} \)のみの式で表せ。
(2) 次の不等式を証明せよ
\(\displaystyle \sin{\theta} \cos{\theta} + \cos{\theta}\tan{\theta} + \tan{\theta}\sin{\theta} < \frac{1}{\cos^2{\theta}}\)

答え

(1)
\( |\vec{a}|^2 = \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}+\tan^2{\theta} \\
=1+\tan^2{\theta} \\ \displaystyle = 1+\frac{\sin^2{\theta}}{\cos^2{\theta}} \\ =\displaystyle \frac{1}{\cos^2{\theta}} \)

(2)
\( \vec{b}=(\cos{\theta} , \tan{\theta} , \sin{\theta} ) \)とおく。
\( \vec{a} ,\vec{b} \)のなす角を\(\alpha \)とすると
\( \vec{a} \cdot \vec{b}= |\vec{a}||\vec{b}| \cos{\alpha} \)だから
\( \vec{a}\cdot \vec{b} \leq |\vec{a}||\vec{b}| \)
(等号成立は\(\vec{a}=k\vec{b} \)のとき)
明らかに\(|\vec{a}|=|\vec{b}|\)なので計算すると
\( \sin{\theta} \cos{\theta} + \cos{\theta}\tan{\theta} + \tan{\theta}\sin{\theta} \\ \displaystyle \leq |\vec{a}|^2 = \frac{1}{\cos^2{\theta}} \)
あとは等号が成立しないことを示せばよい。
等号が成立すると仮定すると
\( \sin{\theta}=k \cos{\theta} , \cos{\theta}=k\tan{\theta} , \tan{\theta}=k\sin{\theta} \)となるkが存在する。
1つめの式より\(k=\tan{\theta} \)となるからこれを3つめの式に代入すると
\(\tan{\theta}=\tan{\theta}\sin{\theta} \)
つまり\( \tan{\theta}=0 \)または\( \sin{\theta}=1 \)
しかし
\(\tan{\theta}=0 \)のとき2つめの式が1=0となる。
\(\sin{\theta}=1 \)のとき1つめの式が1=0となる。(cosθ≠0にも反する)
どちらも矛盾。
よって等号は成立しない。

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