今週の問題 問75 答え

上野竜生です。問75の答えを発表します。

問75

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{(n+3)(n+4)}{(n+1)(n+2)} \right\} ^{n+5} \)を求めよ。

答え

\(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{(n+3)(n+4)}{(n+1)(n+2)} \right\} ^{n+5} \\
=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{1+ \frac{4n+10}{n^2+3n+2} \right\} ^{n+5} \\
=\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left\{1+ \frac{1}{\frac{n^2+3n+2}{4n+10}} \right\} ^{\frac{n^2+3n+2}{4n+10} \cdot \frac{4n+10}{n^2+3n+2} \cdot (n+5)}\)

ここで\(\displaystyle t=\frac{n^2+3n+2}{4n+10} \)とおくと
n→∞のときt→∞でありeの定義から
\(\displaystyle \lim_{t \to \infty} \left( 1+\frac{1}{t} \right)^t =e \)
\( e^x \)の連続性より求める値は
\( \displaystyle e^{\lim_{n \to \infty} \frac{4n+10}{n^2+3n+2} \cdot (n+5)} \\
=\displaystyle e^{\lim_{n \to \infty} \frac{4+\frac{30}{n}+\frac{50}{n^2}}{1+\frac{3}{n}+\frac{2}{n^2}} } \\
= e^4 \)

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