今週の問題 問74 答え

上野竜生です。問74の答えを発表します。

問74

面積が2である三角形ABCがある。
辺ABを7等分し,Aから順番に\( A , P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6 , B \)とする。
辺BCを7等分し,Bから順番に\( B , Q_1, Q_2, Q_3, Q_4, Q_5, Q_6 , C \)とする。
辺CAを7等分し,Cから順番に\( C , R_1, R_2, R_3, R_4, R_5, R_6 , A \)とする。
赤青黄3つのサイコロを投げ,赤の目をa,青の目をb,黄の目をcとする。
このとき三角形\( P_a Q_b R_c \)の面積が1以下になる確率を求めよ。
ただし必要ならば次の不等式を用いてよい。
\( (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \)・・・(*)

答え

参考図

三角形\( AP_a R_c \)の面積は\(\displaystyle 2 \cdot \frac{a}{7} \cdot \frac{7-c}{7} = \frac{2a(7-c)}{49} \)
同様に三角形\( BQ_b P_a \)の面積は\(\displaystyle 2 \cdot \frac{b}{7} \cdot \frac{7-a}{7} = \frac{2b(7-a)}{49} \)
三角形\( CR_c Q_b \)の面積は\(\displaystyle 2 \cdot \frac{c}{7} \cdot \frac{7-b}{7} = \frac{2c(7-b)}{49} \)

よって三角形\( P_a Q_b R_c \)の面積は三角形ABCの面積からこれら3つの三角形の面積を引いて
\(\displaystyle 2-\frac{2a(7-c)}{49}-\frac{2b(7-a)}{49}-\frac{2c(7-b)}{49} \)

これが1以下になればいいから
\(\displaystyle 2-\frac{2a(7-c)}{49}-\frac{2b(7-a)}{49}-\frac{2c(7-b)}{49} \leq 1 \)
\(\displaystyle \frac{2a(7-c)}{49}+\frac{2b(7-a)}{49}+\frac{2c(7-b)}{49} \geq 1 \)
\( 2a(7-c)+2b(7-a)+2c(7-b) \geq 49 \)

\( 14(a+b+c)-2(ab+bc+ca) \geq 49 \)・・・(**)であることが必要十分。

a,b,cはサイコロの目だから3≦a+b+c≦18である。
a+b+c=3,4のとき
(a,b,c)=(1,1,1),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)はすべて(**)を満たさない
同様にa+b+c=17,18のとき
(a,b,c)=(6,6,6),(5,6,6),(6,5,6),(6,6,5)はすべて(**)を満たさない

5≦a+b+c≦16のときA=a+b+cとおくと(*)より
\( 14(a+b+c)-2(ab+bc+ca)\\ \geq 14(a+b+c)-\frac{2}{3}(a+b+c)^2 \\ = -\frac{2}{3}A^2 + 14A \\ \displaystyle = -\frac{2}{3}(A-\frac{21}{2})^2 + \frac{441}{6} \\ \displaystyle \geq -\frac{2}{3}(5-\frac{21}{2})^2 +\frac{441}{6} \\ = \displaystyle \frac{160}{3} > 49 \)
となるからすべて(**)を満たす

サイコロの目の出方63=216通りのうち,(**)を満たさないのは8通りだから(**)を満たすのは216-8=208通り。

よって求める確率は\(\displaystyle \frac{208}{216}=\frac{26}{27} \)

(*)の解説
\( (a+b+c)^2 \geq 3(ab+bc+ca) \)の証明
(左辺)-(右辺)≧0を示す。
\( a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca \\ = \frac{1}{2} \{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \} \\ \geq 0  \)

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