今週の問題 問73 答え

上野竜生です。問73の答えを発表します。

問73

数列{an}は次を満たす
\( a_1=1 , a_2=\alpha \)
\( a_n a_{n+1} a_{n+2} = n(n+1)(n+2) \)
\( a_{999}=333 \)となるような\(\alpha (>0)\)の値を求めよ。

答え

漸化式にn=1を代入すると
\( a_1 a_2 a_3=6 \)
つまり\( \alpha a_3=6 \)となり\( a_3=\frac{6}{\alpha} \)

\( \alpha>0 , \frac{6}{\alpha}>0 \)より帰納的に\( a_n>0 \)

漸化式の添え字を1つずらしてnにn+1を代入すると
\( a_{n+1} a_{n+2} a_{n+3} = (n+1)(n+2)(n+3) \)
もとの漸化式と辺々割ると
\(\displaystyle \frac{a_{n+3}}{a_n}=\frac{n+3}{n} \)
つまり
\(\displaystyle \frac{a_{n+3}}{n+3} = \frac{a_n}{n} \)

よって\(\displaystyle \frac{a_n}{n}=b_n \)とおくと
\( b_{n+3}=b_n \)

\( b_{999}=b_{996}=b_{993} = \cdots =b_{6}=b_{3} \)
よって\(b_{999}=b_3 \)より
\(\displaystyle \frac{a_{999}}{999}=\frac{a_3}{3}=\frac{2}{\alpha} \)

つまり
\(\displaystyle a_{999}=\frac{1998}{\alpha} \)
\( a_{999}=333\)より\(\alpha=6 \)

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