今週の問題 問71 答え

上野竜生です。問71の答えを発表します。

問71

xを実数とし、集合A,Bを次のように定める。
A={1,2,x,4,5}
B={1,2,x2-3x+3,4,5}
A=Bとなるような実数xの値をすべて求めよ。

答え

x≠1,2,4,5のときAの要素の個数は5なのでBの要素の数も5になる。
このときx2-3x+3=xが成り立たなければならないので
(x-1)(x-3)=0 ∴x=1,3
x≠1,2,4,5なのでx=3

f(x)=x2-3x+3とおくとf(1)=1 , f(2)=1, f(3)=3 , f(4)=7 , f(5)=13
x=1,2,4,5のときA={1,2,4,5}であるからf(x)=1,2,4,5のいずれかになればよい。
x=1,2,4,5のうちf(x)=1,2,4,5になるのはx=1,2のとき。

以上よりA=Bとなるxはx=1,2,3

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